Phương pháp đặt ẩn phụ Đối với một số phương trình phức tạp hơn, chúng ta không thể sử dụng cách đưa về cùng một cơ số như trong bài viết trước. Khi đó, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để được phương trình hoặc hệ phương trình đại số thông thường.

Tag: gia sư tại nhà

Chú ý: Khi đặt ẩn phụ, ta nên tìm điều kiện của ẩn phụ (tuỳ thuộc vào điều kiện của ẩn cần tìm).

Một số ví dụ

Ví dụ 1.
Giải các phương trình mũ sau
a) $2^{2x+1}-2^{x+3}=64$ ;
b) $e^{2x}-4e^{-2x}=3$ ;
c) $6.4^\frac{1}{x}-13.6^\frac{1}{x}+6.9^\frac{1}{x}=0$ ;
d) 8^x+18^x=2.27^x

.
Lời giải.
a) Phương trình đã cho tương đương với
$2.(2^x)^2-2^3.2^x=64\Leftrightarrow (2^x)^2-4.2^x-32=0.$
Đặt $t=2^x \ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9279d0ef7c73bac7087c08e93a50c3f0_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì phương trình trở thành <img alt=$ . Đây là phương trình bậc hai với ẩn

, ta tìm được t=8

hoặc

. Tuy nhiên t>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a50040d6577d94160ae22add310890bf_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> nên chỉ có <img alt=

t>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a50040d6577d94160ae22add310890bf_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> nên chỉ có <img alt=

là thoả mãn. Thay lại để tìm

, ta có
$2^x=8\Leftrightarrow 2^x=2^3\Leftrightarrow x=3.$
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm x=3

.
b) Đặt $t=e^{2x} \ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea5b48492d523cf261604abe9f062a40_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, ta có phương trình <img alt=$
Phương trình bậc hai ẩn

này chỉ có một nghiệm dương t=4

, suy ra $e^{2x}=4\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\ln 4$ .
c) Điều kiện $x\not=0$ . Chia cả hai vế của phương trình cho $6^\frac{1}{x}>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-827772e9a9f637aab87038120d61ea0c_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, ta có <img alt=$
Đặt $t=\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x} \ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ddf2765d73753759c1d024dadb9f6a7c_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, phương trình trở thành <img alt=$
Phương trình bậc hai trên có hai nghiệm dương $t=\dfrac{3}{2}; t=\dfrac{2}{3}$ .

Với $t=\dfrac{3}{2}$ thì $\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=1\Leftrightarrow x=1$ .

Với $t=\dfrac{2}{3}$ thì $\Big (\dfrac{3}{2}\Big )^\frac{1}{x}=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}=-1\Leftrightarrow x=-1$ .
Phương trình có hai nghiệm x=1; x=-1

.
d) Phương trình đã cho tương đương với
$2^{3x}+2^x.3^{2x}=2.3^{2x}\Leftrightarrow \Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{2x}+\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x}-2=0.$
Đặt $t=\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x}\ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0c1ac16e689d1b72603623ab7cfdbc9f_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì phương trình trở thành <img alt=$
Do $t^2+t+2=\Big (t+\dfrac{1}{2}\Big )^2+\dfrac{7}{4}>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97e2d8a3ce1774164bf742ffb074ccd0_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> nên <img alt=$ hay t=1

. Từ đó suy ra $\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^{x}=1=\Big (\dfrac{2}{3}\Big )^0\Leftrightarrow x=0.$
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0

Ví dụ 2
Giải các phương trình lôgarit sau
a) $\dfrac{1}{4+\log_3x}+\dfrac{1}{2-\log_3x}=1$ ;
b) $-\ln^3x+2\ln x=2-\ln x$ ;
c) $x^{\lg^2x^2-3\lg x-\frac{9}{2}}=10^{-2\lg x}$ ;
d) $\log_2\sqrt{|x|}-4\sqrt{\log_4|x|}-5=0$ .
Lời giải.
a) Điều kiện $x>0, 4+\log_2x\not=0, 2-\log_2x\not=0.” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cdec6cb868562f3e2a4cad3bdf7155b6_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> Đặt <img alt=$ thì điều kiện của

là $t\not=-4, t\not=2$ và phương trình trở thành

$\dfrac{1}{4+t}+\dfrac{1}{2-t}=1&\Leftrightarrow 2-t+4+t=(4+t)(2-t)$
$\Leftrightarrow t^2+3t-2=0\Leftrightarrow t=-1\vee t=-2$ (thoả mãn).
Với t=-1

thì $\log_2x=-1\Leftrightarrow x=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$ ;
Với t=-2

thì $\log_2x=-2\Leftrightarrow x=2^{-2}=\dfrac{1}{4}$ .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\dfrac{1}{2}, x=\dfrac{1}{4}$ .
b) Điều kiện x>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d63a1ae70784ae7abbda78bddf170dfc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, đặt <img alt=

x>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d63a1ae70784ae7abbda78bddf170dfc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, đặt <img alt=

, phương trình trở thành
$t^3-2t^2-t+2=0\Leftrightarrow (t-1)(t+1)(t-2)=0.$
Do đó

nhận các giá trị là 1; -1

hoặc

Với

thì $\lg x=1\Leftrightarrow x=10^1=10$ ;

Với

thì $\lg x=-1\Leftrightarrow x=10^{-1}=\dfrac{1}{10}$ ;

Với

thì $\lg x=2\Leftrightarrow x=10^2=100$ .
Vậy phương trình đã cho có

nghiệm $x=10, x= \dfrac{1}{10}, x=100$ .
c) Điều kiện x>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d63a1ae70784ae7abbda78bddf170dfc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Phương trình đã cho tương đương với
<p style=

x>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d63a1ae70784ae7abbda78bddf170dfc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Phương trình đã cho tương đương với</span></span></p>
<p style=

$x^{\lg^2x^2-3\lg x-\frac{9}{2}}=(10^{\lg x})^{-2}=x^{-2}$
$\Leftrightarrow lg^2x^2-3\lg x-\dfrac{9}{2}=-2\Leftrightarrow 8\lg^2x-6\lg x-5=0.$
Đặt $t=\lg x \ (t\in\mathbb{R})$ thì phương trình trở thành $8t^2-6t-5=0\mbox{ hay } t=-\dfrac{1}{2}\vee t=\dfrac{5}{4}.$

Với $t=-\dfrac{1}{2}$ thì $\lg x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ ;

Với $t=\dfrac{5}{4}$ thì $\lg x=\dfrac{5}{4}\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{10^5}$ .
Phương trình đã cho có

nghiệm là $x=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ và $x=\sqrt[4]{10^5}$ .
d) Điều kiện $x\not=0, \log_2|x|\ge 0 \Leftrightarrow |x|\ge 1$ . Phương trình đã cho tương đương với
$\log_2|x|^\frac{1}{2}-4\sqrt{\log_{2^2}|x|}-5=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\log_2|x|-4\sqrt{\dfrac{1}{2}\log_2|x|}-5=0.$
Đặt $t=\sqrt{\dfrac{1}{2}\log_2|x|} \ (t\ge 0)$ thì phương trình trở thành
$t^2-4t-5=0\mbox{ hay } t=-1\vee t=5.$
Do $t\ge 0$ nên t=5

. Suy ra $\dfrac{1}{2}\log_2|x|=25\Leftrightarrow\log_2|x|=50\Leftrightarrow |x|=2^{50}$ (thoả mãn).
Vậy $x=\pm 2^{50}$ là nghiệm của phương trình.

Nhận xét: Ta sẽ đặt ẩn phụ khi gặp những bài toán (tương đối phức tạp) có cơ số giống nhau hoặc có cơ số liên quan nhau bằng các lũy thừa. Không phải bài toán nào ta cũng đặt ẩn phụ được ngay. Chẳng hạn như khi giải phương trình
$(2-\sqrt{3})^x+(2+\sqrt{3})^x=14$
ta phải nhận thấy rằng $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=1$ , từ đó suy ra $2-\sqrt{3}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=(2+\sqrt{3})^{-1},$
và nếu đặt $t=(2-\sqrt{3})^x$ thì $\dfrac{1}{t}=(2+\sqrt{3})^x$ . Tương tự như vậy đối với phương trình
$(\log_{2\sqrt{2}+\sqrt{7}}x)^2-\log_{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}x=2.$
Muốn đặt được ẩn phụ, ta phải nhận thấy được mối liên hệ
$2\sqrt{2}+\sqrt{7}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}-\sqrt{7}}=(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^{-1}.$
Thậm chí, một số phương trình còn “khó nhìn” ra hơn! Chẳng hạn khi giải phương trình
$(3+2\sqrt{2})^x=(\sqrt{2}-1)^x+3$
ta cần nhận thấy $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=1$ và $3+2\sqrt{2}=1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=(\sqrt{2}+1)^2$ .
Từ đó nếu đặt $2t=(\sqrt{2}+1)^x, \ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-65546484fbd6fbbb75ffacf40dffc3c4_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì ta có <img alt=$
(Chú ý rằng $\dfrac{1}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}=4\cos^3\dfrac{\pi}{9}-3\cos\dfrac{\pi}{9}$ . Đáp số: $x=\log_{\sqrt{2}+1}\Big (2\cos\dfrac{\pi}{9}\Big )$ ).
Bên cạnh đó, cũng có những bài toán mà chúng ta phải đặt nhiều hơn một ẩn phụ. Khi đó phương trình đã cho được đưa về một hệ phương trình đại số. Ví dụ sau đây sẽ minh chứng cho nhận định này.
Ví dụ 3.
Giải các phương trình
a) $2^{2x}-\sqrt{2^x+6}=6$ ;
b) $\sqrt{3+\log_2(x^2-4x+5)}+2\sqrt{5-\log_2(x^2-4x+5)}$ .

Lời giải.
a) Đặt $u=2^x\ (u>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de615b296a30a73059ac367873080f8b_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì phương trình trở thành <img alt=$ .
Tiếp tục đặt $v=\sqrt{u+6} \ (v> \sqrt{6})” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f00e62c90461cc3d0a14b61e9a9ee51_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì <img alt=$ và ta có hệ phương trình đối xứng
u^2=v+6, v^2=u+6.

Trừ vế với vế ta được
$u^2-v^2=-(u-v)\Leftrightarrow (u-v)(u+v+1)=0\Leftrightarrow\left [\begin{matrix}{}u-v&=&0,\\ u+v+1&=&0.\end{matrix}\right.$
Với u=v

ta được $u^2=u+6\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}{}u&=&3&\\ u&=&-2& \mbox{ (loại)}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2^x=3\Leftrightarrow x=\log_23$ ;
Với u+v+1=0

ta được $u^2+u-5=0\Leftrightarrow \left [\begin{matrix}{}u&=&\dfrac{-1+\sqrt{21}}{2}&\\ u&=&\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}& \mbox{ (loại)}\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow 2^x=\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}\Leftrightarrow x=\log_2\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}.$
Vậy phương trình có hai nghiệm là $x=8; x=\log_2\dfrac{-1-\sqrt{21}}{2}.$
b) Điều kiện $\begin{cases} x^2-4x+5>0,\\ 3+\log_2(x^2-4x+5)\ge 0,\\ 5-\log_2(x^2-4x+5)\ge 0\end{cases}\Leftrightarrow x^2-4x+5\le 2^5\Leftrightarrow 2-\sqrt{29}\le x\le 2+\sqrt{29}.” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9e107f7049591513323d9da74357f96d_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> Đặt <img alt=$ . Khi đó ta có hệ phương trình $\begin{cases} u+2v=6,\\ u^2+v^2=8.\end{cases}$
Giải ra ta được \ $\begin{cases} u=2,\\ v=2;\end{cases}\mbox{ hoặc }\begin{cases} u=\dfrac{2}{5},\\ v=\dfrac{14}{5}.\end{cases}$
Từ đó suy ra \ $\log_2(x^2-4x+5)=1\mbox{ hoặc } \log_2(x^2-4x+5)=\dfrac{-71}{25}$ và tìm được

nghiệm của phương trình.

Nhận xét.
Đối với một số phương trình ẩn

, sau khi đặt ẩn phụ thì trong phương trình vẫn còn ẩn

(không biểu diễn hết được theo ẩn phụ), ta vẫn giải bình thường bằng cách coi

lúc đó là hệ số tự do, và tính ẩn phụ theo

rồi thay lại để tìm

. Ví dụ sau minh họa điều này.
Ví dụ 4.
Giải các phương trình
a) 25^x-2(3-x).5^x+2x-7=0

;
b)

;
c) $\log_2^2x+(x-1)\log_2x+2x-6=0$ .

Lời giải
a) Đặt $t=5^x \ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e3e69cc3fbb5013f43921b6af0c9138c_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì phương trình trở thành <img alt=$
Phương trình bậc hai (ẩn

) này thoả mãn điều kiện a-b+c=0

nên có một nghiệm t=-1

và nghiệm còn lại là t=-2x+7

. Vì

t>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a50040d6577d94160ae22add310890bf_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> nên <img alt=

. Khi đó
$5^x=-2x+7.\qquad (*)$
Đến đây ta có hai cách lập luận để tìm được

Cách 1. Ta thấy x=1

là một nghiệm của (*)

vì

.
Nếu

x>1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a63f080149f3d0e5aa7547043c19f49_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì <img alt=

5>-2x+7″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-742b994b462f38ae05c6ace1afd067f5_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, do đó (*)

vô nghiệm.
Nếu x<1

thì

, do đó

cũng vô nghiệm.
Vậy x=1

là nghiệm duy nhất của (*)

Cách 2. Ta thấy y=f(x)=5^x

là hàm số luỹ thừa đồng biến và y=g(x)=-2x+7

là hàm số nghịch biến. Do đó, đồ thị của chúng cắt nhau tại nhiều nhất là một điểm. Mặt khác f(1)=g(1)=5

nên đồ thị của chúng cắt nhau tại điểm duy nhất là (1; 5)

. Vậy phương trình (*)

có duy nhất một nghiệm x=1

.
b) Đặt $2^x=y \ (y>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4fb6eb0daea119aa54ef31f2d297584a_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” /> thì phương trình trở thành <img alt=$
Phương trình này tương đương với

$\begin{align*} &y(x-2)+x^2-3x+2=0 \Leftrightarrow\ y(x-2)+(x-1)(x-2)=0\\ \Leftrightarrow\ &(x-2)(y+x-1)=0 \Leftrightarrow\ \left [\begin{matrix}{}x&=&2,&\\ 2^x&=&1-x&\qquad (*)\end{matrix}\right. \end{align*}$

Tương tự câu a), ta cũng lập luận được x=0

là nghiệm duy nhất của (*)

.
Vậy phương trình có hai nghiệm là x=2, x=0

.
c) Điều kiện $x\ge 0$ . Đặt $t=\log_2x \ (t\in\mathbb{R})$ thì phương trình trở thành
t^2+(x-1)t+2x-6=0.

Phương trình này tương đương với

$\begin{align*} t^2-t-6+x(t+2)=0 &\Leftrightarrow (t+2)(t-3)+x(t+2)=0\\ &\Leftrightarrow (t+2)(t-3+x)=0\\ &\Leftrightarrow\left [\begin{matrix}{}t&=&-2,&\\ t&=&3-x.&\end{matrix}\right. \end{align*}$

Với

thì $\log_2x=-2\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}$ ;
Với t=3-x

thì $\log_2x=3-x\ \ (*)$ . Nhận thấy vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến và x=2

là một nghiệm của phương trình (*)

. Do đó phương trình (*)

có nghiệm duy nhất x=2

.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x=\dfrac{1}{4}, x=2$ .

Bài tập đề nghị

Bài 1.
Giải các phương trình mũ

a) $10^{1+x^2}-10^{1-x^2}=99$ ;
b) $8.3^{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}+9^{\sqrt[4]{x}+1}=9^{\sqrt{x}}$ ;
c) $3.2^{\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}}-8.2^{\frac{\sqrt{x}-1}{2}}+4$ ;
d) $(\sqrt[5]{3})^x+(\sqrt[10]{3})^{x-10}-84=0$ .

Hướng dẫn
a) Đặt $t=10^{x^2}$ . ĐS $x=\pm 1$ .
b) Chia hai vế cho $9^{\sqrt[4]{x}}$ . Đặt $t=3^{\sqrt{x}-\sqrt[4]{x}}$ . ĐS x=16

.
c) Đặt $t=2^{\frac{\sqrt{x}+1}{2}}\ (t\ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \forall x\ge 0)$ . ĐS x=9

.
d) Đặt $t=3^{\frac{x}{10}}$ . ĐS x=20

Bài 2.
Giải các phương trình lôgarit sau
a) $\dfrac{2\lg x}{\lg x-1}=-\lg x+\dfrac{2}{\lg x-1}$ ;
b) $\log_x2-\log_4x+\dfrac{7}{6}=0$ ;
c) $x(\lg 5-1)=\lg (2^x+1)-\lg 6$ ;
d) $\lg_{2x}64+\log_{x^2}16=3$ .
Hướng dẫn.
a) Đặt $t=\lg x$ . ĐS $x=\dfrac{1}{100}$ .
b) Đặt $t=\log_2x$ . ĐS $x=8, x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}$ .
c) Viết $\lg 5-1=\lg\dfrac{1}{2}$ . Đặt t=2^x

. ĐS

.
d) Đặt $t=\log_2x$ . ĐS $x=4, x=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}$ .

Bài 3.
Giải các phương trình
a) $(5-\sqrt{21})^x+7.(5+\sqrt{21})^x=2^{x+3}$ ;
b) $(2+\sqrt{3})^{x^2-2x+1}+(2-\sqrt{3})^{x^2-2x-1}=\dfrac{2}{2-\sqrt{3}}$ ;
c) $(\sqrt{-2+\sqrt{5}})^x+(\sqrt{2+\sqrt{5}})^x=2$ ;
d) $3\log_{7-4\sqrt{3}}(x-5)+2\log_{4\sqrt{3}+7}^2(x-5)+1=0$ .

Hướng dẫn
a) Từ $(5-\sqrt{21})(5+\sqrt{21})=5^2-21=4$ suy ra $\dfrac{5+\sqrt{21}}{2}=\dfrac{2}{5-\sqrt{21}}$ . Chia cả hai vế cho 2^x

, đặt $t=\Big (\dfrac{5-\sqrt{21}}{2}\Big )^x\ (t>0)” src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a1c6e9581b22d7971e96208c5e869db5_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. ĐS <img alt=$ .
b) Đặt $t=(2+\sqrt{3})^{x^2-2x}\ (t\ge (2+\sqrt{3})^{-1})$ . ĐS x=0, x=2

.
c) Đặt $t=(\sqrt{-2+\sqrt{5}})^x$ . ĐS x=0

.
d) Đặt $t=\log_{4\sqrt{3}+7}(x-5)$ . ĐS $x=12+4\sqrt{3};\ x=5+\sqrt{4\sqrt{3}+7}$ .

Bài 5.
Giải các phương trình
a) $\dfrac{8}{2^{x-1}+1}+\dfrac{2^x}{2^x+2}=\dfrac{18}{2^{x-1}+2^{x+1}+2}$ ;
b) $\log_2[x(x-1)^2]+\log_2x.\log_2(x^2-x)=2$ ;
c) $\log_2^2x+\sqrt{\log_2x+1}=1$ .

Hướng dẫn.
a) Đặt t=2^x

hoặc đặt hai ẩn $\begin{cases} u=2^{x-1}+1,\\ v=2^{1-x}+1\end{cases}$ , khi đó ta có $uv=2^{x-1}+2^{1-x}+2=u+v$ và đưa về hệ hai ẩn u,v

. ĐS

.
b) Điều kiện x>1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a63f080149f3d0e5aa7547043c19f49_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Đặt <img alt=

x>1″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5a63f080149f3d0e5aa7547043c19f49_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Đặt <img alt=

và viết
$\log_2[x(x-1)^2]=\log_2\dfrac{(x^2-x)^2}{x}=2u-v.$
Đưa phương trình về dạng (u-1)(v+2)=0

. ĐS

.
c) Đặt $u=\log_2x, v=\sqrt{u+1}$ , đưa phương trình về hệ đối xứng ẩn u,v

.
ĐS $x=2^{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}, x=1, x=\dfrac{1}{2}$ .

Bài 6.
Giải các phương trình
a) 9^x+2(x-2).3^x+2x-5=0

;
b) $\lg^2(x^2+1)+(x^2-5)\lg (x^2+1)-5x^2=0$ ;
c) $(x+2)\log_3^2(x+1)+4(x+1)\log_3(x+1)-16=0$ ;
d) $4x^2+3^{\sqrt{x}}.x+3^{1+\sqrt{x}}=2.3^{\sqrt{x}}.x^2+2x+6$ .

Hướng dẫn.
Đặt ẩn phụ, tính ẩn phụ theo biến

.
ĐS a) x=1

; b) $x=\pm\sqrt{99999},\ x=0$ ; c) $x=2,\ x=-\dfrac{80}{81}$ ;
d) Đặt $y=3^{\sqrt{x}}$ , ta được $4x^2+yx+3y=2yx^2+2x+6\Leftrightarrow\ (y-2)(2x^2-x-3)=0$ .
ĐS $x=\dfrac{3}{2};\ x=(\log_3 2)^2$ .

Theo: mathblog.org

Thứ Tư, 4 tháng 9, 2013

Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Một số ví dụ

Bài tập đề nghị

1 nhận xét: