Một Số Bài Toán Vui

Bài 1: Một con ếch ở dưới một cái giếng sâu 10m. Ban ngày ếch nhảy lên được 3m, ban đêm tụt xuống 2 m.

Hỏi sau bao nhiêu ngày thì ếch lên khỏi giếng ?

Đáp án: Sau 8 ngày ếch lên khỏi giếng.

Vì: Ban ngày ếch nhảy lên được 3m, ban đêm tụt xuống 2m như vậy mỗi ngày ếch lên được 1m. Sau 7 ngày ếch cách miệng giếng 3m sang ngày thứ 8 ếch sẽ nhảy lên khỏi giếng.

 Bài 2: Một người đi bán gà ở các nhà hàng. Biết rằng cứ đến mỗi nhà hàng người đó bán đi 1/2 số gà của mình và lấy lại 1 con. Cứ tiếp tục như vậy sau 40 lần người đó còn lại 2 con gà.

Hỏi ban đầu người đó có bao nhiêu con gà ?

Đáp án:  Ban đầu người đó có 2 con gà.

Vì: Lúc đầu người đó có 2 con gà bán đi 1/2 số gà của mình là bán đi 1 con nhưng lại lấy lại 1 con thì người đó vẫn còn nguyên số gà là 2 con. Vì vậy sau 40 lần thì số gà còn lại của người đó vẫn là 2 con.

Câu 3: Ba con mèo ăn ba con chuột trong 3 giây. Hỏi 33 con mèo ăn 33 con chuột trong mấy giây ?

Đáp án:  Trong 3 giây

Câu 4: Một bệnh nhân đi khám bệnh. Bác sĩ bó tay bảo bệnh nhân về. Hỏi bệnh nhân mắc bệnh gì?

Đáp án:  Bệnh nhân bị gãy tay.

Câu 5: Bi mời năm bạn đến nhà chơi. Mẹ Bi thấy nhà chỉ còn năm quả táo. Bà muốn chia đều 5 quả táo cho 6 đứa nhưng lại không muốn chia thành miếng quá nhỏ, mà chỉ muốn chia nhiều nhất thành 3 phần.
Bạn có nghĩ ra cách gì chia táo không?

Đáp án:  3 quả táo đầu tiên, mỗi quả chia thành 2 phần => có 6 phần đủ cho 6 người ăn; tương tự 2 quả còn lại, mỗi quả chia thành 3 phần

Câu 6: Có một kẻ nghiện thuốc lá. Cứ nửa tiếng hắn lại phải hút một điếu thuốc. Hắn sẽ nối các mẩu tàn thuốc lại với nhau, cứ bốn mẩu thì nối thành 1 điếu thuốc. Hôm đó, hắn dùng tất cả số tiền còn lại của mình để mua được 16 điếu thuốc, như vậy số thuốc đó đủ để hắn hút trong bao lâu?

Đáp án:  Lúc đầu hút 16 điếu --> còn lại 16 mẩu tạo ra 4 điếu --> hút còn lại 4 mẩu tạo ra 1 điếu .
Vậy người đó hút được 21 điếu => mất 10h30'

Toán học Hy Lạp cổ đại

Thuật ngữ Mathématiques, Mathématiciens, hay các ngôn từ tương đương trong ngôn ngữ Châu Âu đều bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp. Chúng được phát sinh từ động từ ”hiểu biết, học hỏi”. Thời xa xưa nó chưa mang ý nghĩa đặc thù như ngày nay, từ Hy Lạp; mathema có nghĩa là ”điều được đem ra giảng dạy”, nói một cách cụ thể hơn nó là một hình thức của tri thức.

Việc dạy toán cổ xưa ở Hy Lạp

Chúng ta biết rất ít về việc dạy toán tại Hy Lạp Cổ đại. Hình như một số trường triết học đã đóng một vai trò quan trọng trong việc đào tạo các nhà Toán học, khi mà chuyên ngành hóa trí tuệ còn là ngoại lệ. Ở thời kỳ cổ điển, người ta có nói đến sự tồn tại của những trường gọi là “khoa học”, như trường Chios hoặc trường Cizyque. Tuy nhiên, chúng ta không biết các trường ấy đào tạo phổ thông hay chuyên ngành, và có phải là một cái gì khác cao hơn chứ không chỉ là một nhóm môn đệ tập trung xung quanh một ông thầy có tiếng tăm.

Như trong y học đã có những bằng chứng sớm hơn và vững chắc hơn về sự tồn tại của những trường y khoa – hình như môi trường gia đình có một vai trò trong sự đào tạo của nhà Bác học. Chúng ta có rất ít chi tiết về tiểu sử các nhà toán học song cũng biết rằng, Archimèdes là con một nhà Thiên văn học, Hypsiclès là con một nhà toán học, các nhà hình học Ménechme và Dinostrate là hai anh em, còn Hypatie, nhà toán học nữ Hy Lạp duy nhất mà chúng ta biết, là con gái nhà toán học Theon ở Alexandria.

Thực ra, Hy Lạp thời kỳ cổ điển không biết đến Nhà nước tập quyền kiểu ở Cận Đông thời Cổ đại, nơi đã nổi lên rất sớm nhu cầu đào tạo một giai cấp thư lại “viên chức”. Hy Lạp thời đó hợp bởi nhiều thành bang nhỏ độc lập luôn tuôn xung đột với nhau, hoặc những tổ chức lỏng lẻo như kiểu thị tộc nên không cần đến các hệ thống giáo dục có tổ chức như ở Ai Cập, Babylone hoặc Trung Quốc.

Tuy rằng thương mại, đạc điền và hàng hải đòi hỏi những tri thức tối thiểu về toán học và tuy các phép tính sơ đẳng có được dạy tại trường học, nhưng Thành bang Hy Lạp không quan tâm mấy đến giáo dục trí tuệ và kỹ thuật cho thanh thiếu niên. Nhà trường do các cá nhân khởi xướng, trong đó có một số trường trở nên nổi tiếng. Hai nhà sư phạm vĩ đại người Athènes đầu Thế kỷ IV Tr.CN là Socrates và Platon đều lập ra cơ sở giáo dục riêng của mình – Socrates lập trường hùng biện và Platon lập trường triết học.

Cả hai ông đều coi toán học là công cụ không thể thiếu cho sự phát triển trí tuệ và thừa nhận môn học này đòi hỏi ”thể dục” và tập trung tinh thần. Nhưng mỗi ông có một cách tiếp cận toán học khác nhau. Socrates cho rằng, cũng như những cuộc tranh luận đối nghịch mà thanh niên rất ưa thích, toán học cần mở mang những đầu óc ”minh mẫn” cho dù nội dung của nó không có mấy giá trị đối với người công dân mà lý tưởng là hiến mình cho đời sống chính trị. Nhưng đối với Platon, một mặt thừa nhận toán học cũng có một vai trò giáo dục dự bị, song còn coi nó là một môn vỡ lòng cho nghiên cứu triết học – tức là triết học duy tâm Platon – và cả làm phương tiện chọn lọc bởi vì các môn toán học và triết học mà ông giảng dạy cùng với nhau tạo thành một hình thức tu luyện khổ hạnh trí tuệ thiết yếu cho đề án cải cách chính trị của ông.

Thế kỷ III và II Tr. CN đã chứng kiến một sự phát triển hết sức to lớn trong toán học. Đa số các tác phẩm của thời kỳ ấy còn đến ngày nay là tác phẩm của các nhà toán học ít nhiều gắn bó với Alexandria, Kinh đô của triều Ptolémée Hy Lạp cai trị Ai Cập từ 306 đến 31 Tr.CN. Được biết rằng, các triều Vua Ptolémée áp dụng một chính sách đỡ đầu rộng rãi – trước kia chỉ dành cho một vài cá nhân, thường là các nhà thơ – bằng, cách lập ra một số cơ quan, nổi tiếng nhất là Thư viện và Bảo tàng Alexandria. Những cơ quan mới đó rõ ràng đã đem lại một sự thúc đẩy mới cho nghiên cứu văn học. Ảnh hưởng của chúng đối với sự phát triến của khoa học không rõ rệt bằng nhưng chắc phải có bầu không khí thuận lợi mà các cơ quan đó tạo ra chỉ có thể có lợi cho sự phát triển các khoa học.

Tuy nhiên, chúng ta không biết những học giả vĩ đại thời đó được nhiều tài liệu chứng tỏ rằng đã có mặt tại Alexandria – như Hérophile de Chalcédoine, Euclides, Straton de Lampraque, Aristarque de Samos, Eratosthène de Cyrèrle, Apollonius de Perge – có đào tạo môn đệ, giảng dạy hoặc thuyết giảng hay không, trong khuôn khổ Bảo tàng Alexandria hay với tư cách cá nhân. Vậy là chưa phải đã chắc chắn tồn tại một trường học hẳn hoi tại Alexandria, thực ra mãi đến thời đế chế La Mã, Bảo tàng Alexandria này mới hoạt động như một trường đại học và rồi được mô phỏng tại Ephèse, Athènes, Smyrne hoặc Egine.

Các văn bản toán học

Bên cạnh toán học thuần tuý theo đúng truyền thống Hy Lạp, còn có một loạt văn bản toán học có thể gọi là mang tính chất ”tính toán”- giống như văn bản tìm thấy trong toán học Ai Cập, Babylone hoặc Trung Hoa; ví dụ, một bộ sách toán học khá muộn, được coi là của Héron d’Alexandrie, đã được soạn thảo và sử dụng cho đến tận thời kỳ Byzance. Có lẽ nó dùng để đào tạo các kỹ thuật viên, như trong các văn bản Babylone hoặc Ai Cập. Các bài toán đặt ra đều nói rõ ràng đến một tình hình cụ thể, cho dù tình hình đó nhiều khi chỉ là một phương tiện giảng dạy.

Hoàn toàn không có điều gì tương tự trong các sách cổ điển của Euclides, Archimèdes hoặc Apollonius, những người ít quan tâm đến các ứng dụng thực hành. Cách trình bày lý thuyết số của Euclides hoàn toàn không cần viện dẫn những ví dụ về số. Các tác phẩm còn đến ngày nay hình như cho thấy, có sự tách biệt rõ rệt giữa nghiên cứu thuần túy và ứng dụng thực hành. Tuy nhiên, cho dù hai chủ đề này được phân biệt rõ ràng như vậy, cũng các tác giả ấy đều được quan tâm đến toán học ”thuần túy” lẫn ”ứng dụng” như nhau.

Bộ phận toán học Hy Lạp mà theo quy ước ta gọi là “thuần túy” có 4 đặc điểm sau đây:

Trình bày suy diễn: những chuyên luận cổ điển, như nguyên lý của Euclides được trình bày theo cách suy diễn. Kết quả được xác lập bằng chứng minh, hoặc bằng kết quả đã đạt được chứng minh từ trước hoặc bằng những nguyên lý đặt ra ngay từ đầu. Đây có thể coi như là một cách tiếp cận nửa theo tiên đề, nhấn mạnh đến khía cạnh lôgích và tất yếu của toán học. Song, cần ghi nhận rằng nhiều khi khó tách rời khía cạnh hùng biện với ưu điểm là thu hút sự chú ý của học sinh và nhằm đạt tới hiệu quả tâm lý và sư phạm, với khía cạnh lôgích tập trung vào cơ cấu tất yếu và khách quan của biện luận.

Xu hướng hình học: cho dù nói đến lý thuyết số, hình học hay thiên văn học, xu hướng của những sách chứng minh này về cơ bản là hình học. Toán học cổ đã du nhập nhiều ký hiệu khác nhau để ghi các số và phân số cũng đã dùng những cách viết tắt. Nhưng, chính ở việc sử dụng những hình hình học mà người Hy Lạp đi xa nhất trong thử nghiệm dùng những ký hiệu ”biểu diễn”. Khả năng chia nhỏ các hình thành những phần tử, ấn định các quay tắc dựng hình được phép, tìm ra những đặc tính hình như đã ”có mặt” trong các hình, tất cả các khía cạnh ấy hoàn toàn thích hợp với cách trình bày suy diễn.

Lý tưởng khoa học không vụ lợi: ham thích bản thân tri thức là động lực nghiên cứu toán học.

Toán học và triết học: sự phát triển của toán học thuần túy diễn ra đồng thời với sự phát tiển của triết học.

Các nhà triết học và các nhà toán học

Cùng với triết học đã diễn ra song song trong toán học là cuộc tranh luận về phương pháp luận và duy ý luận về khoa học. Sự phân loại khoa học do Geminus, nhà thiên văn học và toán học Hy Lạp Thế kỷ ITr.CN (xem bài trong khung), là một ví dụ: cách phân loại của ông giả đình tồn tại một khối tri thức khoa học đã khá phát triển và rất đa dạng. Nó chủ trương cho một sự phân biệt giữa các khoa học ưu tiên việc nghiên cứu trừu tượng và tách rời khỏi những ứng dụng có thể có.

Theo Aristotles, toán học nghiên cứu đặc tính có thể là ”trừu tượng” của các vật thể trong thế giới vật chất. Ngoài ra, giống như tất cả các khoa học chứng minh, toán học dựa trên các nguyên lý khiến cho một môn khoa học này có thể giả định trước một môn khoa học khác – ”phụ thuộc vào một môn khoa học khác” như lời Aristotles. Ví dụ: quang học ”phụ thuộc” vào hình học. Như vậy là có cả một thứ bậc các khoa học về mặt lôgích. Phải phân biệt cách xếp thứ bậc ấy với cách phân chia (thường được các tác giả Hy Lạp nhấn mạnh) giữa toán học ”vụ lợi” với toán học ”không vụ lợi”. Theo Aristotles, chỉ có toán học ”không vụ lợi mới xứng đáng được đưa vào một nền giáo dục tự do”. ”Tự do” có nghĩa là bản thân mình là mục đích.

Vậy là nghệ thuật tô điểm thắng thế kỹ thuật thiết thực. Khoa học không vụ lợi, tự bản thân nó là mục đích, là hoạt động tối cao. Đối với Platon, toán học do người không phải là Hy Lạp phát triển – cho dù các nền văn minh của họ tuyệt vời đến đâu – chỉ là nghệ thuật, vì nó không thoát khỏi những trói buộc của nhu cầu. Vậy là các nhà triết học Hy Lạp hỗn hợp các khía cạnh thuộc các lĩnh vực khác nhau, cả phương pháp luận lẫn duy ý luận. Tuy các chuyên luận về quang học và thiên văn học vay mượn hình thức của các trình bày hình học, do phương pháp suy diễn đặc biệt thích hợp với việc loại trừ tất cả những gì liên quan đến cái ”cảm thụ” và cái ”thực hành”, song không dễ biết được, các nhà toán học Hy Lạp làm thế nào để đồng nhất với cách nhìn nhận đó về hoạt động của họ. Ngoài ra, cho dù dễ mắc phải, song chúng ta không được lẫn lộn sự phân biệt thời nay giữa toán học ”thuần túy” và ”ứng dụng” với sự phân biệt thời xưa giữa “hiểu được” và ”cảm thụ được”, vì những khái niệm ấy không trùng hợp nhau.

Nói đến lý tưởng của ”khoa học không vụ lợi” dẫn ta đến vấn đề động cơ của việc phát triển toán học. Cần phân biệt giữa nguyên nhân bên ngoài với những gì có thể được miêu tả là nguyên nhân bên trong. Trong số các nguyên nhân bên ngoài, cần nhấn mạnh đến vai trò rất to lớn của quang học và thiên văn học mà chúng ta xếp vào lĩnh vực vật lý, nhưng người xưa lại đưa vào toán học. Cần cộng thêm vào các môn đó môn tĩnh học, khoa học về thế cân bằng.

Chúng ta hiểu biết gì về các ảnh hưởng “bên trong”? Ta có thể thử đi tìm những ảnh hưởng đó trong các bài tựa mà các tác giả – nhà toán học, kể từ Archimèdes trở đi, hình như đã mở đầu các tác phẩm của họ. Điều suy ra từ các bài tựa ấy là: không phải là sản phẩm của những đặc điểm tâm lý riêng của trí óc Hy Lạp, việc nghiên cứu không vụ lợi giả định trước sự tồn tại của một cộng đồng các nhà toán học, tuân theo những tiêu chuẩn nhất định. Trước hết, các nhà toán học cảm thấy không có nghĩa vụ phải biện minh cho việc thực hành khoa học vì bản thân khoa học. Đó là điều đương nhiên. Cùng lắm, họ có thể thừa nhận rằng họ chọn toán học chứ không phải ”vật lý” hoặc “thần học” vì toán học là một môn học chắc chắn, nghiêm túc, chặt chẽ hơn, nó nghiên cứu một sự vật “ổn định” ( khác với “vật lý”), nhưng dẫu vậy vẫn ”đạt tới được” ( khác với ”Thần học”).

Ở thời kỳ Hy Lạp hoá, các nhà toán học này tạo thành một cộng đồng “quốc tế” mà các thành viên ở rải rác khắp xung quanh Địa Trung Hải (Hy Lạp, Tiểu Á, Ai Cập, Sicile). Họ có quan hệ cá nhân với nhau, đến thăm nhau hoặc gửi cho nhau những tác phẩm mới nhất của họ. Trước hết họ cố đề ra những bài toán cho đồng nghiệp, tự giải những bài toán mà họ đề ra; thậm chí phê phán những bài giải không hoàn chỉnh mà người khác đề xuất. Qua đó, một số người xây dựng được một uy tín vững chắc. Các ấn phẩm được gửi đến họ để xem xét, đánh giá rồi lại chuyển những ấn phẩm ấy đến những người khác được coi là đáng gửi. Trong số ấy, cũng có một ít kẻ bịp bợm, mà khi có dịp là người ta sẽ lật mặt bằng cách gửi đến họ những bài toán không có cách giải mà họ cứ khoe là đã giải được. Những quan hệ trên đây cố nhiên chỉ mang tính cách cá nhân, không nằm trong khuôn khổ của một hình thức thể chế nào hiểu theo nghĩa hiện đại.

Nói vắn tắt, lý tưởng ”toán học không vụ lợi” hình như gắn liền với sự tồn tại của một nhóm người trong đó những vấn đề đối địch và cạnh tranh không hoàn toàn xa lạ với những đặc điểm của cộng đồng khoa học ngày nay. Dẫu vậy, cũng không nên đẩy sự so sánh đi quá xa. Ví dụ, giữa các cộng đồng cổ xưa và hiện đại có sự khác nhau rõ rệt về quy mô. Các nhà khoa học nói chung, chứ không chỉ nói riêng các nhà toán học thời kỳ Hy Lạp hoá, chắc chắn không đông quá vài trăm người. Ngoài ra, điều không thể nghi ngờ là do không có một thể chế đích thực nào nên cái cộng đồng mà họ hợp thành là rất mỏng manh. Ngay từ thời kỳ La Mã, những tác giả kiệt xuất nhất (Ptolémée, Pappus) hình như chỉ quan tâm đến việc hoàn thiện những kết quả đã đạt được. Tinh thần ganh đua và tìm tòi những lý thuyết mới của thời kỳ trước đây rõ ràng đã không còn nữa.

CÁC PHÂN LOẠI MATHEMATA CỦA GEMINUS

Những người khác, trong đó có Geminus, cho rằng phải phân chia toán học theo cách khác. Một bên, họ xếp những thứ có thể cảm thụ và những thứ liên quan đến chúng. Có lẽ họ gọi là hiểu được những đối tượng chiêm ngưỡng mà tâm hồn dựng nên trong mình, thoát khỏi mọi hình thức vật chất. Họ xếp số học và hình học là hai bộ phận đầu tiên và quan trọng nhất của toán học đề cập đến những gì hiểu được. Còn về những bộ phận của toán học đề cập đến những thứ cảm thụ được, thì có 6 lĩnh vực: cơ học, thiên văn học, quang học, trắc địa học, cononic và logisic.

Ngược lại, đối và họ, không như những người khác, chiến thuật không xứng đáng được coi là một bộ phận toán học tuy rằng nó sử dụng khi thì logistic, như trong việc thống kê quân số, khi thì trắc địa học như trong việc phân chia đất và đạc điền. Họ càng không coi sử học và y học nằm trong toán học, tuy rằng các tác giả các tác phẩm sử học nhiều khi dùng đến các định lý toán học để chỉ những đều kiện khí hậu hoặc kích thước các thành phố, đường kính và chu vi các thành phố ấy và tuy rằng các thầy thuốc dùng những phương pháp này để rọi sáng vào nhiều vấn để thuộc lĩnh vực thẩm quyền của họ. Và ích lợi của thiên văn học đối với y học đã được Hippocrates và tất cả những ai nghiên cứu các mùa và các vùng chỉ ra hết sức rõ ràng.

Bách Khoa Tri Thức

Giới thiệu sách tham khảo cho học sinh tiểu học

Trung tâm gia sư tại nhà Hà Nội xin giới thiệu đến quý PHHS một số đầu sách tham khảo tốt. Đã được các chuyên gia toán của trung tâm chọn lọc.

Một số tiêu chí để chọn lọc:

• Sách của những tác giả có uy tín trong lĩnh vực toán tiểu học.
• Các bài tập có độ khó gần với đề thi.
• Sách có nội dung tốt, lời giải đầy đủ phù hợp để tham khảo và luyện tập.

1. 10 chuyên đề bồi dưỡng toán học sinh giỏi tiểu học toán 4 - 5 tập 1 và 2 - TG: Trần Diên Hiển.
2. 123 bài toán số và chữ số - PGS.Đỗ Trung Hiệu và Nguyễn Áng
3. 50 đề thi toán học sinh giỏi tiểu học - Nguyễn Áng
4. Toán bồi dưỡng học sinh lớp 4, toán bồi dưỡng học sinh lớp 5.
5. Tuyển tâp các đề thi học sinh giỏi toán 4, 5 - Trần Ngọc Lan
6. Ngoài ra các quý PHHS có thể mua thêm các tài liệu có tổng hợp đề thi vào các trường điểm cấp 2.

Hướng dẫn sử dụng sách:

• Các quý phụ huynh và các em học sinh có thể sử dụng sách tham khảo như sau:
• Phụ huynh chọn giúp con 5 bài mỗi ngày. Căn cứ theo thời gian sắp xếp có thể điều chỉnh số lượng bài phù hợp.
• Bấm giờ làm trong thời gian 5 phút cho một bài tìm đáp số, 10 phút cho một bài trình bày đầy đủ. Do đi thi vào cấp 2 có nhiều trường yêu cầu làm trắc nghiệm hoặc điền đáp số nên học sinh cần rèn luyện cả về kỹ năng giải toán nhanh.
• Kết thúc PHHS có thể sử dugj đáp án để kiểm tra bài giải của con.

Chúc quý vị thành công!

Bài toán Frobenius

Định lý Tem thư. Cho a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Khi đó

            1) Với mọi n > ab – a – b = n₀, n có thể biểu diễn được dưới dạng

                        n = ax + by với x, y là các số nguyên không âm.

            2) Với mọi k, 0 £ k £ n₀, có đúng một trong hai số k, n₀-k biểu diễn được dưới dạng  ax + by với x, y nguyên không âm.

Kết quả này là của Sylvester. Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán Frobenius:

Cho trước n số nguyên dương a₁, a₂, …, a_n với (a₁, a₂, …, a_n) = 1. Tìm số G_n lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng  a₁x₁ + … + a_nx_n với x_i Î N.

Số nguyên G_n như vậy luôn tồn tại do điều kiện (a₁, a₂, …, a_n) = 1 và được suy ra từ định lý Schur (định lý khẳng định số nghiệm nguyên không âm của phương trình x = a₁x₁ + … + a_nx_n bằng

Cho đến gần đây, ngay cả trường hợp n=3 vẫn chưa giải được. Có một số người khẳng định rằng họ đã giải được trường hợp n=3. Tuy nhiên, khi xem lời giải của họ thì họ không tìm được công thức cho G₃. Đúng hơn là họ đã đưa ra một thuật toán “đơn giản” để tìm G₃. Thuật toán này được mô tả trên vài trang giấy. Nếu theo nghĩa này thì trường hợp tổng quát cũng có lời giải. Còn công thức cho G_n có lẽ là không tồn tại, ngay cả trong trường hợp n = 3.

Davidson chứng minh được đánh giá chặn dưới cho G₃(a₁, a₂, a₃) như sau:

            G₃(a₁, a₂, a₃) >= căn(a1*a2*a3) - a1 - a2 - a3

Bạn đọc quan tâm đến bài toán Frobenius (còn gọi là Frobenius coin problem) có thể xem thêm tại địa chỉ

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_problem

Bài tập

1. Cho (a, b) = 1. Ngân hàng trung ương Sikinia phát hành chỉ 2 loại tiền a- và b-Kulotnik. Bạn có thể trả được những khoản tiền nào nếu

(a) bạn có thể nhận tiền trả lại       (b) bạn không nhận tiền trả lại

2. Ở Sikinia có ba loại quả cân: 15, 20 và 48 Slotnik. Hỏi có thể cân được những trọng lượng nào nếu dùng cân

            (a) 2 đĩa                                             (b) một đĩa

3. (IMO 1983) Cho a, b, c là các số nguyên dương với (a, b) = (b, c) = (c, a) = 1. Chứng minh rằng 2abc – ab – bc – ca là số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng xbc + yca + zab với x, y, z là các số nguyên không âm.

4. Với tập hợp A, ký hiệu |A| và s(A) tương ứng là số phần tử và tổng các phần tử của tập hợp A (nếu A = Æ thì |A| = s(A) = 0). Cho S là tập hợp gồm các số nguyên dương sao cho

            a) tồn tại hai phần tử x, y thuộc S với (x, y) = 1.

            b) nếu x, y thuộc S thì x + y thuộc S.

Gọi T là tập hợp tất cả các số không nằm trong S. Chứng minh rằng

Chứng minh tính chia hêt của một nhóm số tự nhiên

Gia sư tại nhà sưu tầm 1 dạng bài toán chứng minh về tínhchia hết của vài nhóm số tự nhiên đặc biệt từ dễ đến khó để HSG toán rèn luyện phương pháp chứng minh

Bài 1

Trong 3 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 3 số đó) mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2.

Giải : Áp dụng quy tắc chẵn –lẻ

Xét các trường hợp:

·        a, b, c cùng chẵn è đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có

                                          tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2

·        a, b, c cùng lẻ è đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có

                                          tổng và cả  hiệu của chúng là số chia hết cho 2

·        a, b, c có 1 cặp là số lẻ è Hiệu và tổng của 2 số lẻ chia hết cho 2

·        a, b, c có 1 cặp là số chẵnè Hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2

         Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài

        Hai trường hợp cuối có 1 cặp số thỏa mãn đầu bài

è Vậy có ít nhât 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 (ĐPCM)

Bài 2

Trong 4 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c, d ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 4 số đó) mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Giải :  Áp dụng qui tắc số dư

    Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là  0, 1, 2, 3, 4,

Xét các trường hợp:

·        cả 4 số có số dư khác nhau (0,1,2,3);(0,2,3,4);(0,1 4,2); (0,4,2,3);(1,2,3,4)

     bao giờ cũng có ít nhất 1 cặp số có số dư là (1+4) hoặc (2+3)

                  è Tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5

    Với nhóm số có số dư (1,2,3,4) è 2 cặp có tổng chia hết cho 5

·        cả 4 số có số dư trùng nhauè 6 cặp từng đôi một có hiệu = 0

                                                                                        è chia hết cho 5

·        2 cặp có số dư trùng nhau è Hiệu của 2 cặp đó = 0 è chia hết cho 5

·        1 cặp có số dư trùng nhau è Hiệu của 1 cặp đó = 0 è chia hết cho 5

Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Bài 3

Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ tùy chọn, bao giờ cũng có 4 số mà tổng của chúng chia hết cho 4

Giải:

Đặt 7 số TN đó là A, B, C, D, E, F, G. Lấy kết quả của bài 1: Trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn có 2 số là số chẵn ( chia hết cho 2)

                A,  B,     C   Và   D, E, F    mỗi nhóm có 1 cặp chia hết cho 2

    

* Giả thử (A+B) =2 m  và  (D+E)=2n è (A+B) + (C+D)= 2(m+n)

     

                     Còn 3 số   C     F    G  sẽ có 1 cặp chia hết cho 2

                                     ( C + F) = 2 p    Với m,n,p cúng là số tự nhiên

Trong 3 số m, n, p  luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2.

*Giả thử (m + n) =2 q  ( q là số TN) thì ta có

     (A+B) + (C+D)= 2(m+n) = 4q  ==> A+B+C+D chia hết cho 4 (ĐPCM)

Tương tự nếu chon các nhóm số khác ta cũng được 4 số trong 7 số bât kỳ trên chia hết cho 4

Lưu ý:

- Với bài toán chứng minh ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra như bài 1 và bài 2; Với bài 3, tài liệu này chi nêu 1 trường hợp, còn các trường hợp khác nêu “CM tương tự”

- Bài 1 và bài 2 chú ý kết luận có sự khác nhau bởi 2 chữ và với chữ hoặc !