Thứ Năm, 13 tháng 3, 2014

Chứng minh tính chia hêt của một nhóm số tự nhiên





Gia sư tại nhà sưu tầm 1 dạng bài toán chứng minh về tínhchia hết của vài nhóm số tự nhiên đặc biệt từ dễ đến khó để HSG toán rèn luyện phương pháp chứng minh

Bài 1
Trong 3 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 3 số đó) mà tổng hiệu của chúng chia hết cho 2.

Giải : Áp dụng quy tắc chẵn –lẻ
Xét các trường hợp:
·        a, b, c cùng chẵn è đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có
                                          tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2
·        a, b, c cùng lẻ è đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có
                                          tổng và cả  hiệu của chúng là số chia hết cho 2
·        a, b, c có 1 cặp là số lẻ è Hiệu và tổng của 2 số lẻ chia hết cho 2
·        a, b, c có 1 cặp là số chẵnè Hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2


         Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài
        Hai trường hợp cuối có 1 cặp số thỏa mãn đầu bài
è Vậy có ít nhât 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 (ĐPCM)

Bài 2
Trong 4 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c, d ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 4 số đó) mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Giải :  Áp dụng qui tắc số dư
    Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là  0, 1, 2, 3, 4,
Xét các trường hợp:
·        cả 4 số có số dư khác nhau (0,1,2,3);(0,2,3,4);(0,1 4,2); (0,4,2,3);(1,2,3,4)
     bao giờ cũng có ít nhất 1 cặp số có số dư là (1+4) hoặc (2+3)
                  è Tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5
    Với nhóm số có số dư (1,2,3,4) è 2 cặp có tổng chia hết cho 5
·        cả 4 số có số dư trùng nhauè 6 cặp từng đôi một có hiệu = 0
                                                                                        è chia hết cho 5
·        2 cặp có số dư trùng nhau è Hiệu của 2 cặp đó = 0 è chia hết cho 5
·        1 cặp có số dư trùng nhau è Hiệu của 1 cặp đó = 0 è chia hết cho 5


Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Bài 3
Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ tùy chọn, bao giờ cũng có 4 số mà tổng của chúng chia hết cho 4

Giải:
Đặt 7 số TN đó là A, B, C, D, E, F, G. Lấy kết quả của bài 1: Trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn có 2 số là số chẵn ( chia hết cho 2)

                A,  B,     C     D, E, F    mỗi nhóm có 1 cặp chia hết cho 2
    
* Giả thử (A+B) =2 m    (D+E)=2n è (A+B) + (C+D)= 2(m+n)
     
                     Còn 3 số   C     F    G  sẽ có 1 cặp chia hết cho 2

                                     ( C + F) = 2 p    Với m,n,p cúng là số tự nhiên
Trong 3 số m, n, p  luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2.
*Giả thử (m + n) =2 q  ( q là số TN) thì ta có
     (A+B) + (C+D)= 2(m+n) = 4q  ==> A+B+C+D chia hết cho 4 (ĐPCM)
Tương tự nếu chon các nhóm số khác ta cũng được 4 số trong 7 số bât kỳ trên chia hết cho 4

Lưu ý:
- Với bài toán chứng minh ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra như bài 1 và bài 2; Với bài 3, tài liệu này chi nêu 1 trường hợp, còn các trường hợp khác nêu “CM tương tự”
- Bài 1 và bài 2 chú ý kết luận có sự khác nhau bởi 2 chữ với chữ hoặc !

1 nhận xét:

  1. vô cùng cảm ơn ad với bài viết rất bổ ích

    Trả lờiXóa