Phương
pháp đặt ẩn phụ Đối với một số phương trình phức tạp hơn, chúng ta
không thể sử dụng cách đưa về cùng một cơ số như trong bài viết trước.
Khi đó, chúng ta có thể đặt ẩn phụ để được phương trình hoặc hệ phương
trình đại số thông thường.
Tag: gia sư tại nhà
Chú ý: Khi đặt ẩn phụ, ta nên tìm điều kiện của ẩn phụ (tuỳ thuộc vào điều kiện của ẩn cần tìm).
Một số ví dụ
Ví dụ 1.
Giải các phương trình mũ sau
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Lời giải.
a) Phương trình đã cho tương đương với

Đặt
. Đây là phương trình bậc hai với ẩn
, ta tìm được
hoặc
. Tuy nhiên
là thoả mãn. Thay lại để tìm
, ta có

Vậy phương trình chỉ có một nghiệm
.
b) Đặt
Phương trình bậc hai ẩn
này chỉ có một nghiệm dương
, suy ra
.
c) Điều kiện
. Chia cả hai vế của phương trình cho 
Đặt
Phương trình bậc hai trên có hai nghiệm dương
.
Giải các phương trình mũ sau
a)
b)
c)
d)
Lời giải.
a) Phương trình đã cho tương đương với
Đặt
Vậy phương trình chỉ có một nghiệm
b) Đặt
Phương trình bậc hai ẩn
c) Điều kiện
Đặt
Phương trình bậc hai trên có hai nghiệm dương
Với
thì
.
Với
thì
.
Phương trình có hai nghiệm
.
d) Phương trình đã cho tương đương với

Đặt
Do
hay
. Từ đó suy ra 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
.
Phương trình có hai nghiệm
d) Phương trình đã cho tương đương với
Đặt
Do
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 2
Giải các phương trình lôgarit sau
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Lời giải.
a) Điều kiện
thì điều kiện của
là
và phương trình trở thành
Giải các phương trình lôgarit sau
a)
b)
c)
d)
Lời giải.
a) Điều kiện
Với
Với
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
b) Điều kiện
Do đó
Với
thì
;
Với
thì
;
Với
thì
.
Vậy phương trình đã cho có
nghiệm
.
c) Điều kiện![x>0″ src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d63a1ae70784ae7abbda78bddf170dfc_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />. Phương trình đã cho tương đương với</span></span></p>
<p style=]()


Đặt
thì phương trình trở thành 
Vậy phương trình đã cho có
c) Điều kiện
Đặt
Với
thì
;
Với
thì
.
Phương trình đã cho có
nghiệm là
và
.
d) Điều kiện
. Phương trình đã cho tương đương với

Đặt
thì phương trình trở thành

Do
nên
. Suy ra
(thoả mãn).
Vậy
là nghiệm của phương trình.
Phương trình đã cho có
d) Điều kiện
Đặt
Do
Vậy
Nhận
xét: Ta sẽ đặt ẩn phụ khi gặp những bài toán (tương đối phức tạp) có cơ
số giống nhau hoặc có cơ số liên quan nhau bằng các lũy thừa. Không
phải bài toán nào ta cũng đặt ẩn phụ được ngay. Chẳng hạn như khi giải
phương trình

ta phải nhận thấy rằng
, từ đó suy ra 
và nếu đặt
thì
. Tương tự như vậy đối với phương trình

Muốn đặt được ẩn phụ, ta phải nhận thấy được mối liên hệ

Thậm chí, một số phương trình còn “khó nhìn” ra hơn! Chẳng hạn khi giải phương trình

ta cần nhận thấy
và
.
Từ đó nếu đặt
(Chú ý rằng
. Đáp số:
).
Bên cạnh đó, cũng có những bài toán mà chúng ta phải đặt nhiều hơn một ẩn phụ. Khi đó phương trình đã cho được đưa về một hệ phương trình đại số. Ví dụ sau đây sẽ minh chứng cho nhận định này.
Ví dụ 3.
Giải các phương trình
a)
;
b)
.
ta phải nhận thấy rằng
và nếu đặt
Muốn đặt được ẩn phụ, ta phải nhận thấy được mối liên hệ
Thậm chí, một số phương trình còn “khó nhìn” ra hơn! Chẳng hạn khi giải phương trình
ta cần nhận thấy
Từ đó nếu đặt
(Chú ý rằng
Bên cạnh đó, cũng có những bài toán mà chúng ta phải đặt nhiều hơn một ẩn phụ. Khi đó phương trình đã cho được đưa về một hệ phương trình đại số. Ví dụ sau đây sẽ minh chứng cho nhận định này.
Ví dụ 3.
Giải các phương trình
a)
b)
Lời giải.
a) Đặt
.
Tiếp tục đặt
và ta có hệ phương trình đối xứng

Trừ vế với vế ta được

Với
ta được
;
Với
ta được 

Vậy phương trình có hai nghiệm là
b) Điều kiện
. Khi đó ta có hệ phương trình 
Giải ra ta được \
Từ đó suy ra \
và tìm được
nghiệm của phương trình.
a) Đặt
Tiếp tục đặt
Trừ vế với vế ta được
Với
Với
Vậy phương trình có hai nghiệm là
b) Điều kiện
Giải ra ta được \
Từ đó suy ra \
Nhận xét.
Đối với một số phương trình ẩn
, sau khi đặt ẩn phụ thì trong phương trình vẫn còn ẩn
(không biểu diễn hết được theo ẩn phụ), ta vẫn giải bình thường bằng cách coi
lúc đó là hệ số tự do, và tính ẩn phụ theo
rồi thay lại để tìm
. Ví dụ sau minh họa điều này.
Ví dụ 4.
Giải các phương trình
a)
;
b)
;
c)
.
Đối với một số phương trình ẩn
Ví dụ 4.
Giải các phương trình
a)
b)
c)
Lời giải
a) Đặt
Phương trình bậc hai (ẩn
) này thoả mãn điều kiện
nên có một nghiệm
và nghiệm còn lại là
. Vì
. Khi đó

Đến đây ta có hai cách lập luận để tìm được
.
a) Đặt
Phương trình bậc hai (ẩn
Đến đây ta có hai cách lập luận để tìm được
Cách 1. Ta thấy
là một nghiệm của
vì
.
Nếu
5>-2x+7″
src=”http://mathblog.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-742b994b462f38ae05c6ace1afd067f5_l3.png”
title=”Rendered by QuickLaTeX.com” />, do đó
vô nghiệm.
Nếu
thì
, do đó
cũng vô nghiệm.
Vậy
là nghiệm duy nhất của
.
Nếu
Nếu
Vậy
Cách 2. Ta thấy
là hàm số luỹ thừa đồng biến và
là hàm số nghịch biến. Do đó, đồ thị của chúng cắt nhau tại nhiều nhất là một điểm. Mặt khác
nên đồ thị của chúng cắt nhau tại điểm duy nhất là
. Vậy phương trình
có duy nhất một nghiệm
.
b) Đặt
Phương trình này tương đương với
b) Đặt
Phương trình này tương đương với
Tương tự câu a), ta cũng lập luận được
là nghiệm duy nhất của
.
Vậy phương trình có hai nghiệm là
.
c) Điều kiện
. Đặt
thì phương trình trở thành

Phương trình này tương đương với
Vậy phương trình có hai nghiệm là
c) Điều kiện
Phương trình này tương đương với
Với
thì
;
Với
thì
. Nhận thấy vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến và
là một nghiệm của phương trình
. Do đó phương trình
có nghiệm duy nhất
.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
.
Với
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
Bài tập đề nghị
Bài 1.
Giải các phương trình mũ
Giải các phương trình mũ
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
b)
c)
d)
Hướng dẫn
a) Đặt
. ĐS
.
b) Chia hai vế cho
. Đặt
. ĐS
.
c) Đặt
. ĐS
.
d) Đặt
. ĐS
.
a) Đặt
b) Chia hai vế cho
c) Đặt
d) Đặt
Bài 2.
Giải các phương trình lôgarit sau
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Hướng dẫn.
a) Đặt
. ĐS
.
b) Đặt
. ĐS
.
c) Viết
. Đặt
. ĐS
.
d) Đặt
. ĐS
.
Giải các phương trình lôgarit sau
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn.
a) Đặt
b) Đặt
c) Viết
d) Đặt
Bài 3.
Giải các phương trình
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Giải các phương trình
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn
a) Từ
suy ra
. Chia cả hai vế cho
, đặt
.
b) Đặt
. ĐS
.
c) Đặt
. ĐS
.
d) Đặt
. ĐS
.
a) Từ
b) Đặt
c) Đặt
d) Đặt
Bài 5.
Giải các phương trình
a)
;
b)
;
c)
.
Giải các phương trình
a)
b)
c)
Hướng dẫn.
a) Đặt
hoặc đặt hai ẩn
, khi đó ta có
và đưa về hệ hai ẩn
. ĐS
.
b) Điều kiện
và viết
![Rendered by QuickLaTeX.com \log_2[x(x-1)^2]=\log_2\dfrac{(x^2-x)^2}{x}=2u-v.](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vKCaDK4WGX70xyyd-5j1v6RxfyWaLjMB5rI0_58eQYk5O8XPBHXqYMy2xCmMxqpbvVKmpMdfSrmWmis77IES3Io-_qAUhcTKesCcghLtP1ORgVo5I6WnnsidT0VpoQczPww5EkCT0bBRRUGZToZhI_eLKcxt1vBR6SZxt3PdwRfSo=s0-d)
Đưa phương trình về dạng
. ĐS
.
c) Đặt
, đưa phương trình về hệ đối xứng ẩn
.
ĐS
.
a) Đặt
b) Điều kiện
Đưa phương trình về dạng
c) Đặt
ĐS
Bài 6.
Giải các phương trình
a)
;
b)
;
c)
;
d)
.
Giải các phương trình
a)
b)
c)
d)
Hướng dẫn.
Đặt ẩn phụ, tính ẩn phụ theo biến
.
ĐS a)
; b)
; c)
;
d) Đặt
, ta được
.
ĐS
.
Đặt ẩn phụ, tính ẩn phụ theo biến
ĐS a)
d) Đặt
ĐS
Theo: mathblog.org
cau d bai 1 sai r
Trả lờiXóa