Số nguyên tố và các dấu hiệu chia hết

Từ thời cổ đại, các nhà toán học đã khám phá ra các số nguyên tố. Eratosthenes (275 - 194 TCN) đã tạo ra sàng nguyên tố cho các số nhỏ hơn một giá trị nhất định. Eulicd đã chứng minh rằng không tồn tại số nguyên tố lớn nhất.
Ngày nay, các nhà toán học và khoa học máy tính sử dụng máy tính để kiểm tra xem một số cho trước có phải là số nguyên tố hay không. Các thuật toán sử dụng trong việc xác định các số nguyên tố cũng được sử dụng trong các lĩnh vực khác của khoa học máy tính để mô hình hoá các dữ liệu khổng lồ, ví dụ như trong việc dự báo thời tiết.

Các dấu hiệu chia hết là những công cụ thuận tiện để tìm ra các thừa số của một số cho trước. Dưới đây là một số dấu hiệu nhận biết cần ghi nhớ:

• 2 - Khi số đó là số chẵn, tức là tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
• 3 - Khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
• 4 - Khi hai chữ số cuối của số đó là một số chia hết cho 4.
• 6 - Khi số đó thoả mãn các dấu hiệu chia hết cho 2 và 3.
• 8 - Khi ba chữ số cuối của số đó là một số chia hết cho 8.
• 9 - Khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
• 5 - Khi số đó có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
• 10 - Khi số đó có tận cùng là 0.
• 11 - Tìm tổng các chữ số hàng chẵn, tổng các chữ số hàng lẻ. Nếu hiệu của hai tổng này chia hết cho 11 thì số đã cho chia hết cho 11.
• 12 - Thoả mãn dấu hiệu chia hết cho 3 và 4.

Toán Lớp 3: Tìm Số Theo Các Điều Kiện Vê Các Chữ Số Của Nó

Tìm Số Theo Các Điều Kiện Vê Các Chữ Số Của Nó
Tag: gia sư toán lớp 3 tại nhà
Bài 1: Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của nó bằng 14.
Bài 2: Tìm số có hai chữ số biết hiệu các chữ số của nó bằng 15.
Bài 3: Tìm số có hai chữ số biết tích hai chữ số của nó bằng 12.
Bài 4: Tìm số có hai chữ số biết rằng thương của hai chữ số của nó bằng 3.
Bài 5: Tìm số có ba chữ số biết tổng các chữ số của nó bằng 3.
Bài 6: Tìm số có ba chữ số, biết chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp 3 chữ số hàng đơn vị.
Bài 7: Tìm số có hai hoặc ba chữ số, biết tích các chữ số của nó bằng 6 và số đó bé hơn 146.
Bài 8: Tìm số có hai chữ số, biết hai chữ số của nó hơn kém nhau hai đơn vị và gấp kém nhau 2 đơn vị.
Bài 9: Tìm số có 3 chữ số, biết chữ số hàng trăm và hàng đơn vị gấp kém nhau 4 lần và chữ số hàng chục hơn chữ số hàng trăm là 8.
Bài 10: Tìm số có hai chữ số lớn hơn 85, biết rằng số viết bởi hai chữ số của số phải tìm theo thứ tự ngược lại bằng số phải tìm.
Bài 11: Tìm số có ba chữ số, biết rằng số đó không đổi khi đọc theo thứ tự ngược lại và chữ số 6 ở hàng chục bằng tổng hai chữ số còn lại.
Bài 12: Tìm số có hai chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta được số mới gấp 9 lần số đã cho.
Bài 13: Tìm số có ba chữ số, biết rằng khi xoá bỏ chữ số 7 ở hàng đơn vị, ta được số mới kém số phải tìm là 331.
Bài 14: Viết thêm chữ số 3 vào bên phải một số, ta được số mới hơn số phải tìm là 273 đơn vị. Tìm số đó.
Bài 15: Từ ba chữ số 2, 3, 8 ta lập được một số có ba chữ số khác nhau là A. Từ hai chữ số 2, 8 ta lập được một số có hai chữ số khác nhau là B. Tìm số A và B biết hiệu giữa A và B là 750.
Bài 16. Một số gồm ba chữ số có tổng các chữ số là 25. Tìm số đó, biết rằng khi đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng chục cho nhau thì số đó không đổi.
Bài 17. Tìm số chẵn có ba chữ số, biết rằng chữ số hàng trăm gấp 2 lần chữ số hàng đơn vị và bằng 1/2 chữ số hàng chục.
Bài 18. Tìm số có ba chữ số, biết rằng số hợp bởi chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục hơn số hợp bởi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị là 11, hơn nữa biết chữ số hàng đơn vị lớn hơn 6.
Bài 19. Tìm số có ba chữ số và số có hai chữ số, biết tổng của hai số đó là 110.
Bài 20. Tìm số có ba chữ số và số có hai chữ số, biết hiệu của hai số đó là 989.

[Bồi Dưỡng HSG Toán 5] Toán về số thập phân

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 5. Tuyển chọn những bài toán về số thập phân.

Mọi thông tin và tư vấn xin vui lòng liên hệ gia sư toán lớp 5 chất lượng cao tại nhà hà nội:

GIA SƯ TẠI NHÀ – TRUNG TÂM GIA SƯ SƯ PHẠM TÀI ĐỨC VIỆT

ĐỊA CHỈ LIÊN HỆ: 
Cơ sở 1: Số 14 – Tổ 42 – Dịch Vọng Hậu – Cầu Giấy – Hà Nội.

Cơ sở 2: Tập thể Công nghệ phẩm – Tổ 2 – Văn Quán – Hà Đông.

Hotline: 0936.128.126 – 0966.552.847 – 0919.128.126.
Email: TAIDUCVIET@GMAIL.COM

Cách giải bài toán xác suất lớp 11

Cách giải bài toán xác suất lớp 11 - gia sư toán tại nhà lớp 11 tại Hà Nội 

Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đồ Thị Hàm Số

Gia sư tại nhà hà nội hướng dẫn viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Đôi điều về số 113

Đôi điều về số 113

113 là một số nguyên tố. Hơn nữa, nó là số nguyên tố Sophie Germain vì 2 x 113 + 1 = 227 cũng là số nguyên tố.
113 là số nguyên tố nhỏ nhất có 3 chữ số mà tích và tổng các chữ số của nó cũng là số nguyên tố: 1 x 1 x 3 = 3 và 1 + 1 + 3 = 5.
Các hoán vị của số 113 cũng là số nguyên tố (131, 311).
113 có thể biểu diễn thành tổng bình phương của hai số nguyên liên tiếp: 113 = 7² + 8² .
113 còn có một biểu diễn khác dưới dạng bộ ba Pitago: 113² = 15² + 112².
113² = 12769 và đảo ngược của nó 96721 = 311².

MỘT SỐ BÀI TOÁN VUI

Bài 1: Một con ếch ở dưới một cái giếng sâu 10m. Ban ngày ếch nhảy lên được 3m, ban đêm tụt xuống 2 m.

Hỏi sau bao nhiêu ngày thì ếch lên khỏi giếng ?

Đáp án: Sau 8 ngày ếch lên khỏi giếng.

Vì: Ban ngày ếch nhảy lên được 3m, ban đêm tụt xuống 2m như vậy mỗi ngày ếch lên được 1m. Sau 7 ngày ếch cách miệng giếng 3m sang ngày thứ 8 ếch sẽ nhảy lên khỏi giếng

Bài 2: Một người đi bán gà ở các nhà hàng. Biết rằng cứ đến mỗi nhà hàng người đó bán đi  số gà của mình và lấy lại 1 con. Cứ tiếp tục như vậy sau 40 lần người đó còn lại 2 con gà.

Hỏi ban đầu người đó có bao nhiêu con gà ?

Đáp án:  Ban đầu người đó có 2 con gà.

Vì: Lúc đầu người đó có 2 con gà bán đi  số gà của mình là bán đi 1 con nhưng lại lấy lại 1 con thì người đó vẫn còn nguyên số gà là 2 con. Vì vậy sau 40 lần thì số gà còn lại của người đó vẫn là 2 con.

Câu 3: Ba con mèo ăn ba con chuột trong 3 giây. Hỏi 33 con mèo ăn 33 con chuột trong mấy giây ?

Đáp án:  Trong 3 giây

Câu 4: Một bệnh nhân đi khám bệnh. Bác sĩ bó tay bảo bệnh nhân về. Hỏi bệnh nhân mắc bệnh gì?

Đáp án:  Bệnh nhân bị gãy tay.

Câu 5: Bi mời năm bạn đến nhà chơi. Mẹ Bi thấy nhà chỉ còn năm quả táo. Bà muốn chia đều 5 quả táo cho 6 đứa nhưng lại không muốn chia thành miếng quá nhỏ, mà chỉ muốn chia nhiều nhất thành 3 phần.
Bạn có nghĩ ra cách gì chia táo không?

Đáp án:  3 quả táo đầu tiên, mỗi quả chia thành 2 phần => có 6 phần đủ cho 6 người ăn; tương tự 2 quả còn lại, mỗi quả chia thành 3 phần

Câu 6: Có một kẻ nghiện thuốc lá. Cứ nửa tiếng hắn lại phải hút một điếu thuốc. Hắn sẽ nối các mẩu tàn thuốc lại với nhau, cứ bốn mẩu thì nối thành 1 điếu thuốc. Hôm đó, hắn dùng tất cả số tiền còn lại của mình để mua được 16 điếu thuốc, như vậy số thuốc đó đủ để hắn hút trong bao lâu?

Đáp án:  Lúc đầu hút 16 điếu --> còn lại 16 mẩu tạo ra 4 điếu --> hút còn lại 4 mẩu tạo ra 1 điếu .
Vậy người đó hút được 21 điếu => mất 10h30'

Trong một ngày đêm, kim phút và kim giờ của đồng hồ trùng nhau bao nhiêu lần?

Câu hỏi này nghe có vẻ rất đơn giản bởi vì kim phút mỗi tiếng quay được một vòng, cứ quay được một vòng thì kim phút lại trùng kim giờ một lần, một ngày đêm có 24 tiếng như vậy kim phút và kim giờ sẽ gặp nhau 24 lần.

Nếu chỉ nghe qua chúng ta thấy giải thích như vậy là rất có cơ sở, có nghĩa là lấy một chiếc đồng hồ sau đó lấy tay nhấc kim phút thử vài vòng thì kết quả cũng đúng như vậy. Tuy nhiên chỉ thử vài vòng thôi chưa đủ, nếu bạn kiên nhẫn thử 12 vòng thì bạn sẽ phát hiện ra số lần mà kim phút và kim giờ gặp nhau không phải là 12 lần mà là 11 lần. Tại sao lại như vậy?

Đây chính là đáp án của câu hỏi. Tuy kim phút chạy mỗi vòng đều trùng với kim giờ một lần nhưng khi kim phút chạy thì kim giờ cũng không hề đứng yên, kim phút cứ chạy được 12 vòng thì bản thân kim giờ cũng chạy được 1 vòng. Bởi thế đối với kim giờ mà nói kim phút chỉ xoay quanh kim giờ có 10 tiếng.

Một ngày đêm có 24 tiếng, khi kim phút chạy được 24 vòng thì kim giờ chạy được 2 vòng bởi thế kim phút chỉ xoay quanh kim giờ có 20 vòng. Bởi vậy một ngày kim phút và kim giờ trùng nhau 20 lần.

Virtual Laboratory of Applied Mathematics - Phòng Thí Nghiệm Ảo Toán Ứng Dụng

1. Sự hình thành của VLAM.

Vào năm 2007, UNESCO và Đại Sứ Quán Pháp tại Việt Nam phối hợp tổ chức một buổi triển lãm có tên “Tại sao lại là Toán học” với mục đích chứng minh Toán học không phải là những gì cao xa, phức tạp mà chúng thật sự rất gần gũi với đời sống con người. Buổi triển lãm được thực hiện chung quanh những mô hình thật như đường Brachistochrone, thái dương hệ hoặc những quả thông khô…Cuộc triển lãm tại Đại học Bách Khoa đã thu hút đông đảo sinh viên của trường cũng như học sinh trong thành phố.

Là một người tham dự và hướng dẫn các sinh viên trong buổi triểm lãm, ngoài những ích lợi không thể chối cãi, tôi nhận thấy có một yếu diểm đó là khả năng tương tác. Khi thao tác, các em sinh viên chỉ có thể sử dụng mô hình đã thiết kế sẵn mà không thể sửa đổi các thông số, mà đây là điều không thể thiếu trong một bài thí nghiệm. Lúc ấy tôi đã đặt câu hỏi : tại sao không mô phỏng các mô hình này trên máy tính, đang trở nên khá thông dụng ở Việt Nam. Chúng ta tận dụng sức mạnh của máy tính để tạo ra những bài thí nghiệm thực sự tương tác, sinh động, tạo sự hứng thú và khơi động trí tưởng tượng của các bạn trẻ. Và đó là lý do ra đời của VLAM (viết tắt từ Virtual Laboratory of Applied Mathematics).

Đây là tập hợp những bài tập được khai triển từ Maple là ngôn ngữ hình thức mạnh nhất hiện nay. VLAM hiện có 18 bài tập trải dài trên nhiều lãnh vực toán học như phương trình vi phân, số học, tối ưu… những bài tập này được phần lớn được thiết kế dưới dạng những trò chơi, nhưng bao hàm những vấn đề phổ thông của toán đại học.

Tuy nhiên vì Maple không hỗ trợ tiếng Việt nên các màn hình đều sử dụng tiếng Anh hoặc Pháp, song song chúng tôi cũng viết các bài hướng dẫn dưới dạng PDF bằng ba thứ tiếng Việt, Anh và Pháp. Việc này không chỉ giúp cho các bạn dễ sử dụng VLAM nhưng còn là để khai thác VLAM một cách hữu hiệu nhất.

2. Cách sử dụng.

a) Để sử dụng trước tiên bạn cần cài Maple phiên bản 11 trở lên, Foxit Reader, độ phân giải màn hình (1280´768). Máy càng mạnh càng tốt.

b) Tải file VLAM.RAR về. Sau đó chỉ cần bung ra trong ổ D rồi nhấp đôi trên các tập tin có đuôi maplet.

3. Lưu ý quan trọng.

Biên soạn trong một thời gian ngắn nên chúng tôi bắt buộc phải bỏ qua các quy trình kiểm tra thông tin dữ liệu đầu vào (input data), vì thể người sử dụng nên chú ý khi nhập dữ liệu và tránh những dữ liệu không hợp lý.

Các bài tập được thiết kế và chạy thử tốt dưới Maple 11 nhưng lại gặp một trục trặc nhỏ dưới các phiên bản sau. Một cửa sổ hiện ra với thông báo “Error launching maple splash sreen”. Maple đã chỉ dẫn cách chỉnh sửa tại đây 

Được thực hiện một mình trong một thời gian kỷ lục (2 năm) nên VLAM không thể tránh khỏi những sai sót (thậm chí những sai sót lý thuyết), và rất nhiều lỗi có tính cách trang trí (tiếng Anh trộn lẫn tiếng Pháp) xin mọi người vui lòng thông cảm. Phần chúng tôi rất hân hoan đón nhận mọi ý kiến, phê bình của các bạn.

Nguồn Diễn đàn Toán học

Chứng minh tính chia hêt của một nhóm số tự nhiên

Gia sư tại nhà sưu tầm 1 dạng bài toán chứng minh về tínhchia hết của vài nhóm số tự nhiên đặc biệt từ dễ đến khó để HSG toán rèn luyện phương pháp chứng minh

Bài 1

Trong 3 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 3 số đó) mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2.

Giải : Áp dụng quy tắc chẵn –lẻ

Xét các trường hợp:

·        a, b, c cùng chẵn è đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có

                                          tổng và cả hiệu của chúng là số chia hết cho 2

·        a, b, c cùng lẻ è đương nhiên chọn bất kỳ cặp nào cũng có

                                          tổng và cả  hiệu của chúng là số chia hết cho 2

·        a, b, c có 1 cặp là số lẻ è Hiệu và tổng của 2 số lẻ chia hết cho 2

·        a, b, c có 1 cặp là số chẵnè Hiệu và tổng của 2 số chẵn chia hết cho 2

         Hai trường hợp đầu có 3 cặp số thỏa mãn đầu bài

        Hai trường hợp cuối có 1 cặp số thỏa mãn đầu bài

è Vậy có ít nhât 1 cặp số mà tổng và hiệu của chúng chia hết cho 2 (ĐPCM)

Bài 2

Trong 4 số tự nhiên tùy ý chọn ( a, b, c, d ε N ), chứng minh rằng luôn có ít nhất 1 cặp số ( 2 số trong 4 số đó) mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Giải :  Áp dụng qui tắc số dư

    Ta thấy phép chia cho 5 có thể được các số dư là  0, 1, 2, 3, 4,

Xét các trường hợp:

·        cả 4 số có số dư khác nhau (0,1,2,3);(0,2,3,4);(0,1 4,2); (0,4,2,3);(1,2,3,4)

     bao giờ cũng có ít nhất 1 cặp số có số dư là (1+4) hoặc (2+3)

                  è Tổng 1 cặp số đó chia hết cho 5

    Với nhóm số có số dư (1,2,3,4) è 2 cặp có tổng chia hết cho 5

·        cả 4 số có số dư trùng nhauè 6 cặp từng đôi một có hiệu = 0

                                                                                        è chia hết cho 5

·        2 cặp có số dư trùng nhau è Hiệu của 2 cặp đó = 0 è chia hết cho 5

·        1 cặp có số dư trùng nhau è Hiệu của 1 cặp đó = 0 è chia hết cho 5

Vậy ít nhất cũng chọn ra 1 cặp số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 5.

Bài 3

Chứng minh rằng trong 7 số tự nhiên bất kỳ tùy chọn, bao giờ cũng có 4 số mà tổng của chúng chia hết cho 4

Giải:

Đặt 7 số TN đó là A, B, C, D, E, F, G. Lấy kết quả của bài 1: Trong 3 số tự nhiên bất kỳ luôn có 2 số là số chẵn ( chia hết cho 2)

                A,  B,     C   Và   D, E, F    mỗi nhóm có 1 cặp chia hết cho 2

    

* Giả thử (A+B) =2 m  và  (D+E)=2n è (A+B) + (C+D)= 2(m+n)

     

                     Còn 3 số   C     F    G  sẽ có 1 cặp chia hết cho 2

                                     ( C + F) = 2 p    Với m,n,p cúng là số tự nhiên

Trong 3 số m, n, p  luôn chọn được 2 số có tổng chia hết cho 2.

*Giả thử (m + n) =2 q  ( q là số TN) thì ta có

     (A+B) + (C+D)= 2(m+n) = 4q  ==> A+B+C+D chia hết cho 4 (ĐPCM)

Tương tự nếu chon các nhóm số khác ta cũng được 4 số trong 7 số bât kỳ trên chia hết cho 4

Lưu ý:

- Với bài toán chứng minh ta phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra như bài 1 và bài 2; Với bài 3, tài liệu này chi nêu 1 trường hợp, còn các trường hợp khác nêu “CM tương tự”

- Bài 1 và bài 2 chú ý kết luận có sự khác nhau bởi 2 chữ và với chữ hoặc !

Tính nhanh tổng của một dãy số cho trước.

Khi cho một dãy số (có quy luật viết nhất định), yêu cầu học sinh phải tính nhanh tổng của dãy số này. nếu ta không hướng dẫn học sinh một phương pháp tính thì sẻ gặp nhiều khó khăn, trong mục này tôi xin đưa ra 2 ví dụ cụ thể, sau đó rút ra một cách tính tổng quát để khi gặp phải dạng toán này học sinh có thể giải một cách dễ dàng.

       Bài 1: Cho dãy số: 1,4,7,10,13,…52,55,57. Hãy tìm tổng của dãy số đó?

    Đây là  một bài toán có dạng đặc biệt. Cách tính nhanh nhất là phải sử dụng các tính chất của phép cộng (giao hoán, kết hợp) để tìm ra các tình nhanh nhất và từ đó rút ra cách giải một cách tổng quát nhất.                                       

Cách làm như sau:

     Ta nhận thấy, dãy số này bắt đầu từ số 1, kết thúc là số 57; số sau lớn hơn số trước nó 3 đơn vị; dãy có 10 số. Nếu tính cách thông thường thưc hiện từ trái sang phải thì rất lâu mà ta phải hướng dẫn học sinh  sử dụng tính chất giao hoán để tính. Ta có:

(1 + 58) + (4 + 55) + (7 + 52) +...+ (25 + 34) +(28 + 31) có 10 cặp. Mỗi cặp có tổng số là 59. Như vậy tổng của dãy số dễ dàng là: 5910 = 590.

      Bài 2.  Cho dãy số: 1 , 3, 5, 7, ….,77, 79 . Hãy tính tổng dãy số đó bằng cách nhanh nhất.

          Ta có thể làm như bài 1, nghĩa là lấy só đầu (1) cộng với số cuối (79)   số thứ 2 (3) cộng với  só thứ 2 cuối (77) và theo trình tự như vậy cho đến hết....sở dĩ như vậy là ta chọn 2 số sao cho có tổng tròn chục (80). Từ 1 đến 79 có 40 số và do cách làm trên nên ta sẻ có 20 cặp ( tổng mỗi cặp là 80) nên dễ dàng tìm được tổng của dãy số là: 80 * 20 = 1600.

   Từ cách giải trên nếu ta dừng lại đây thì chưa đủ, thực tế có nhiều bài toán   dẫy số có rất nhiều số, nên học sinh sể rất mất công để tìm ra có bao nhiêu số trong dãy số đó, để tìm ra bao nhiêu cặp . Lại nữa, muốn tìm xem  một số nào đó trong dãy số là số thứ mấy của dãy số? Rồi số thứ n nào đó của dãy là số mấy?...

     Ví dụ: Cho dãy số 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ;....2002 ; 2004. Hãy:

                a, Tìm  tổng của dãy số?

                b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy?

                c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?

      Để giúp học sinh giải bài toán này và các bài toán tương tự ta hãy cùng gia sư toán tại nhà xây dựng một công thức tổng quát mà trong phạm vi học sinh tiểu học có thể chấp nhận và áp dụng được.

    Gọi dãy số cho trước là a₁,a₂,a₃,...a_n trong đó a₁,a₂,a₃ là các số thứ 1,2,3 của dãy số, a_n là số cuối cùng của dãy số. ta hãy tìm công thức tổng quát, từ ví dụ cụ thể sau:

       Ví dụ:  Cho dãy số 1,5,9,13,17,21,25,29. Hãy tìm tổng của dãy số đó?

     + Để tìm tổng của dãy số trước hết ta phải tìm xem dãy số gồm có bao nhiêu số.Ví dụ: Cho dãy số 1,5,9,13,17,21,25,29. Nhận xét:

     + Dãy số có 8 số tức bằng  (29 - 1)/(5 - 1) + 1= 8 trong đó 29 là số cuối của dãy; 1 là số đầu của dãy; 5 là số thứ 2 của dãy (tương đương với các số a_n,a₁,a₂ trong dãy số tổng quát ) và  (29 - 1)/(5 - 1) = 7 chỉ số từ 1(số đầu dãy) đến 29 (số cuối dãy) có 7 khoảng và như toán trồng cây ta phảicộng thêm 1để để tìm ra dãy số có bao nhiêu số và từ đây ta có công thức tìm dãy có bao nhiêu số.

    Bây giờ ta trở lại giải bài tập trên.

     Bài 1: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, 10,....2002, 2004. Hãy:

         a, Tìm  tổng của dãy số?

         b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy?

          c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?

       Ta có thể làm như sau:

   * Trước hết ta tìm xem đãy số đã cho có bao nhiêu số (tức là tìm n):

III MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC

Bµi 1: TÝnh nhanh:

a) 237 + 357 + 763       b) 2345 + 4257 - 345      c) 5238 - 476 + 3476    d) 1987 - 538 - 462                                   

e)  4276 + 2357 + 5724 + 7643                            g) 3145 + 2496 + 5347 + 7504 + 4653

h) 2376 + 3425 - 376 - 425                                   i)  3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246  - 347

k) 4638 - 2437 + 5362 - 7563                               l) 3576 - 4037 - 5963 + 6424

Bµi 1: TÝnh nhanh:

a) 5+ 5 + 5 + 5+ 5 + 5 +5+ 5 + 5 +5	b) 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 +25 + 25
c) 45 + 45 + 45 + 45 + 15 + 15 + 15 + 15	d) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18
e) 125 + 125 + 125 + 125 - 25 - 25 - 25 - 25

Bµi 2: TÝnh nhanh:

a) 425 x 3475 + 425 x 6525	b) 234 x 1257 - 234 x 257
c) 3876 x 375 + 375 x 6124	d) 1327 x 524 - 524 x 327
e) 257 x 432 + 257 x 354 + 257 x 214	g) 325 x 1574 - 325 x 325 - 325 x 24
h) 312 x 425 + 312 x 574 + 312	i) 175 x 1274 - 175 x 273 - 175

Bµi 3: TÝnh nhanh:

a) 4 x 125 x 25 x 8	b) 2 x 8 x 50 x 25 x 125
c) 2 x 3 x 4 x 5 x 50 x 25	d) 25 x 20 x 125 x 8 - 8 x 20 x 5 x 125

    

Bµi 4*: TÝnh nhanh:

a) 8 x 427 x 3 + 6 x 573 x 4	b) 6 x 1235 x 20 - 5 x 235 x 24
c) (145 x 99 + 145) - (143 x 102 - 143)	d) 54 x 47 - 47 x 53 - 20 - 27

 

 Bµi 5*:  TÝnh nhanh:

a) 10000 - 47 x 72 - 47 x 28

b) 3457 - 27 x 48 - 48 x 73 + 6543

Bµi 6*: TÝnh nhanh:

a) 326 x 728 + 327 x 272	b) 2008 x 867 + 2009 x 133
c) 1235 x 6789x (630 - 315 x 2)	d) (m : 1 - m x 1) : (m x 2008 + m + 2008)

Bµi 7*: TÝnh nhanh:

a)    (399*45 + 399*55)/(1995*1996 - 1995*1991)	b) (1995*1993 - 18)/(197%*1993*1994)
c)       (1996*1995 - 996)/(1000 + 1994*1996)	d)

                                          

 Bµi 8*: Cho A = 2009 x 425      B = 575 x 2009. Không tính A, B hãy tính kết quả B - A?

Số nguyên tố, những điều lý thú

Trong thế giới toán học, thật khó để có thể nghĩ ra được một việc đơn giản hơn việc đếm các số: 1, 2, 3 và cứ thế. Nhưng cũng chính từ tập số này cùng với các dạng mẫu trật tự của nó đã́ mang lại cho ta những điều kỳ thú ngoài sự mong đợi. Ví dụ, chọn một số bất kỳ, nhân đôi số đó. Bạn sẽ luôn luôn tìm được một số nguyên tố, ở giữa hai số này. Hay những số nguyên tố khi chia cho 4 dư 1 thì luôn luôn biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 số chính phương. Bây giờ, một cậu sinh viên cao học toán còn mang đến một điều ngạc nhiên trên cả những điều ngạc nhiên trước đó bằng việc đưa ra một dạng mẫu khác của tập số tự nhiên. Chứng minh của cậu, như là màn kết của câu chuyện giữa nàng số phân hoạch và chàng số nguyên tố.

Làm việc trong tâm trạng ác cảm, sau những lời cảnh báo của thầy hướng dẫn về vấn đề mà cậu đang theo đuỗi sẽ rất̀ gian truân, nhưng Karl Mahlburg thuộc trường đại học Winsconsin - Madison vẫn tiến bước, và cuối cùng đã đưa ra một lời giải thích hoàn thiện cho một tập hợp vô hạn của các dạng mẫu. Vấn đề mà hai thầy trò họ quan tâm đó là sự phân hoạch - cách tách số ra dưới dạng một tổng. Như số 4, có 5 cách phân hoạch, số 5 có 7 cách phân hoạch, số 6 có 11 cách phân hoạch. Và các số phân hoạch này tiến một cách nhanh chóng, như pháo thiên thăng. Ví dụ, số phân hoạch của 50 sẽ là 204’226 và của 200 sẽ là 3’972’999’029’388.

Đối với các nhà lý thuyết số, các số phân hoạch trở thành vấn đề trêu ngươi nhất trong toán học. Ngay cả những câu hỏi đơn giản nhất về tính chất của sự phân hoạch cũng rất khó để có thể trả lời được. Ví dụ như, chưa ai có thể chứng minh được rằng liệu có tồn tại hay không vô hạn số phân hoạch chia hết cho 3? Mặc dầu người ta biết được, có vô hạn các số phân hoạ̣ch chia hết cho 2. Không có sự khác biệt nào lớn giữa một câu hỏi khó với một câu hỏi có thể trả lời được, Ken Ono, giáo viên hướng dẫn của Mahlburg ở Winsconsin phát biểu.

Trong khi vấn đề phân hoạch ban đầu đuợc nghiên cứu bởi bản chất thú vị bên trong, nó còn là gốc dễ của những lát cỏ lớn trong toán học, bao gồm những ý tưởng trong quá trình chứng minh định lý Fermat lớn của Andrew Wiles năm 1993. Số phân hoạch còn có một ý nghĩa quan trọng trong vật lý. Ví dụ như, các nhà vật lý lý thuyết sử dụng chúng để khám phá ra những con đường mà ở đó một tập hợp các hạt có thể phân bố ở giữa những trạng thái năng lượng khác nhau.

Những mẫu hình ngạc nhiên

Về cơ bản, sự phân hoạch miêu ta việc làm sao để xếp một số dưới dạng tổng của các số hạng. Năm 1919, nhà toán học người Ấn độ Srinivasa Ramanujan khám phá ra rằng sự phân hoạch có một mối liên hệ không ngờ với phép nhân. Chúng tạo ra các dạng mẫu dựa trên các số nguyên tố - viên gạch cơ bản để sắp xếp một số thông qua phép nhân.

Ramanujan phát hiện thấy rằng bắt đầu từ số phân hoạch thứ tư trở đi, nghĩa là số 5, mỗi số phân hoạch thứ 5 sẽ chia hết cho 5. Ví dụ số 4 có số phân hoạch là 5, số 9 có số phân hoạch là 30, số 14 có số phân hoạch là 135.

Ramanujan còn khám phá ra được, bắt đầu từ số phân hoạch thứ 5, mội số phân hoạch thứ 7 sẽ chia hết cho 7 và bắt đầu với số phân hoạch thứ 6, mội số phân hoạch thứ 11 sẽ chia hết cho 11. Nhưng dạng mẫu này được gọi là Tương đẳng phân hoạch Ramanujan.

"Những dạng mẫu này thật là ngoài sức tưởng tượng ", Ono phát biểu. " Chúng không là gì, nhưng lại là định nghĩa của sự phân hoạch, cái đưa đến một lời giải thích đơn giản tại sao 3 tương đẳng của Ramanujan tồn tại ". Những tương đẳng này tạo ra một liên kết giữa 2 cách biểu diễn chữ số - bằng các tổng và bằng các tích.

5,7,11 là các số nguyên tố liên tiếp, và tiếp đến là số nguyên tố 13. Vì thế, người ta sẽ suy diễn ra ngay từ các dạng mẫu của Ramanujan, bắt đầu từ số phân hoạch thứ 7, mọi số phân hoạch thứ 13 đều chia hết cho 13. Nhưng không phải vậy, sau 3 tương đẳng Ramanjan, mẫu dạng đột nhiên bị đổ vỡ.

Trong nhiều thập kỷ, các nhà toán học cho rằng 3 mẫu dạng của Ramanujan chỉ là những mẫu dạng duy nhất. Năm 1968, A. Oliver L. Atkin thuộc trường đại học Illinois ở Chicago đã khám phá ra một vài dạng như vậy nhưng phức tạp hơn nhiều, ví dụ như bắt đầu với số phân hoạch thứ 237, mọi số phân hoạch thứ 17.303 đều chia hết cho 13.

Sau đó, năm 2000, Ono làm bàng hoàng gới toán học bằng việc chứng minh rằng các tương đẳng phân hoạch tồn tại với mọi số nguyên tố. Kết quả này sau đó được tổng quát hóa bởi Ono và Scott Ahlgren, nay thuộc trường đại học Illinois ở Urbana-Champaign, với mọi bậc của số nguyên tố. Vì thế,không chỉ có các tương đẳng của 5, mà còn là của 52,53 và cứ thế...

Mặc dầu Ramanujan đã chứng minh được rằng mỗi phần tử của một tập hợp xác định của các số phân hoạch chia hết cho 5, nhưng chứng minh của ông đã không đưa ra một cách để chia số thành 5 nhóm bằng nhau, hay thành các nhóm của các số, tất cả đều chia hết cho 5. Trong toán học, mỗi sự bẻ gẫy hiển nhiên được gọi là một cách chứng minh tổ hợp (combinatorial proof). Công việc của Ramanujan và sau đó là của Ono là cách chứng minh trừu tượng hơn về sự chia hết.

Nay, Mahlburg đã đưa ra một cách giải thích tổ hợp cho khả năng chia hết ngoài sức tưởng tượng của chúng. Công việc của anh đã hoàn thành một chuỗi các ý tuởng, những thứ bắt nguồn từ 6 thập kỷ trước bởi nhà vật lý Freeman Dyson thuộc viên nghiên cứu nâng cao ở Princeton, N.J

Công việc của Mahlburg" cuối cùng đã giải thích một cách bản chất về những tương đẳng này và tại sao chúng tồn tại ", Ono phát biểu.

giải toán trực tuyến

Nguồn: Diễn đàn Toán học (http://diendantoanhoc.net)