Trong
thế giới toán học, thật khó để có thể nghĩ ra được một việc đơn giản
hơn việc đếm các số: 1, 2, 3 và cứ thế. Nhưng cũng chính từ tập số này
cùng với các dạng mẫu trật tự của nó đã́ mang lại cho ta những điều kỳ
thú ngoài sự mong đợi. Ví dụ, chọn một số bất kỳ, nhân đôi số đó. Bạn sẽ
luôn luôn tìm được một số nguyên tố, ở giữa hai số này. Hay những số
nguyên tố khi chia cho 4 dư 1 thì luôn luôn biểu diễn được dưới dạng
tổng của 2 số chính phương. Bây giờ, một cậu sinh viên cao học toán còn
mang đến một điều ngạc nhiên trên cả những điều ngạc nhiên trước đó bằng
việc đưa ra một dạng mẫu khác của tập số tự nhiên. Chứng minh của cậu,
như là màn kết của câu chuyện giữa nàng số phân hoạch và chàng số nguyên
tố.
Làm việc trong tâm trạng ác cảm, sau những lời cảnh báo của thầy hướng dẫn về vấn đề mà cậu đang theo đuỗi sẽ rất̀ gian truân, nhưng Karl Mahlburg thuộc trường đại học Winsconsin - Madison vẫn tiến bước, và cuối cùng đã đưa ra một lời giải thích hoàn thiện cho một tập hợp vô hạn của các dạng mẫu. Vấn đề mà hai thầy trò họ quan tâm đó là sự phân hoạch - cách tách số ra dưới dạng một tổng. Như số 4, có 5 cách phân hoạch, số 5 có 7 cách phân hoạch, số 6 có 11 cách phân hoạch. Và các số phân hoạch này tiến một cách nhanh chóng, như pháo thiên thăng. Ví dụ, số phân hoạch của 50 sẽ là 204’226 và của 200 sẽ là 3’972’999’029’388.
Đối
với các nhà lý thuyết số, các số phân hoạch trở thành vấn đề trêu ngươi
nhất trong toán học. Ngay cả những câu hỏi đơn giản nhất về tính chất
của sự phân hoạch cũng rất khó để có thể trả lời được. Ví dụ như, chưa
ai có thể chứng minh được rằng liệu có tồn tại hay không vô hạn số phân
hoạch chia hết cho 3? Mặc dầu người ta biết được, có vô hạn các số phân
hoạ̣ch chia hết cho 2. Không có sự khác biệt nào lớn giữa một câu hỏi
khó với một câu hỏi có thể trả lời được, Ken Ono, giáo viên hướng dẫn của Mahlburg ở Winsconsin phát biểu.
Trong khi vấn đề phân hoạch ban đầu đuợc nghiên cứu bởi bản chất thú vị
bên trong, nó còn là gốc dễ của những lát cỏ lớn trong toán học, bao
gồm những ý tưởng trong quá trình chứng minh định lý Fermat lớn của Andrew Wiles năm 1993. Số phân hoạch còn có một ý nghĩa quan trọng trong vật lý. Ví dụ như, các
nhà vật lý lý thuyết sử dụng chúng để khám phá ra những con đường mà ở
đó một tập hợp các hạt có thể phân bố ở giữa những trạng thái năng lượng
khác nhau.
Những mẫu hình ngạc nhiên
Về cơ bản, sự phân hoạch miêu ta việc làm sao để xếp một số dưới dạng tổng của các số hạng. Năm 1919, nhà toán học người Ấn độ Srinivasa Ramanujan khám phá ra rằng sự phân hoạch có một mối liên hệ không ngờ với phép nhân. Chúng tạo ra các dạng mẫu dựa trên các số nguyên tố - viên gạch cơ bản để sắp xếp một số thông qua phép nhân.
Ramanujan phát hiện thấy rằng bắt đầu từ số phân hoạch thứ tư trở đi, nghĩa là số 5, mỗi số phân hoạch thứ 5 sẽ chia hết cho 5. Ví dụ số 4 có số phân hoạch là 5, số 9 có số phân hoạch là 30, số 14 có số phân hoạch là 135.
Ramanujan còn khám phá ra được, bắt đầu từ số phân hoạch thứ 5, mội số phân hoạch thứ 7 sẽ chia hết cho 7 và bắt đầu với số phân hoạch thứ 6, mội số phân hoạch thứ 11 sẽ chia hết cho 11. Nhưng dạng mẫu này được gọi là Tương đẳng phân hoạch Ramanujan.
"Những dạng mẫu này thật là ngoài sức tưởng tượng ", Ono phát biểu. " Chúng không là gì, nhưng lại là định nghĩa của sự phân hoạch, cái đưa đến một lời giải thích đơn giản tại sao 3 tương đẳng của Ramanujan tồn tại ". Những tương đẳng này tạo ra một liên kết giữa 2 cách biểu diễn chữ số - bằng các tổng và bằng các tích.
5,7,11 là các số nguyên tố liên tiếp, và tiếp đến là số nguyên tố 13. Vì thế, người ta sẽ suy diễn ra ngay từ các dạng mẫu của Ramanujan, bắt đầu từ số phân hoạch thứ 7, mọi số phân hoạch thứ 13 đều chia hết cho 13. Nhưng không phải vậy, sau 3 tương đẳng Ramanjan, mẫu dạng đột nhiên bị đổ vỡ.
Trong nhiều thập kỷ, các nhà toán học cho rằng 3 mẫu dạng của Ramanujan chỉ là những mẫu dạng duy nhất. Năm 1968, A. Oliver L. Atkin thuộc trường đại học Illinois ở Chicago đã khám phá ra một vài dạng như vậy nhưng phức tạp hơn nhiều, ví dụ như bắt đầu với số phân hoạch thứ 237, mọi số phân hoạch thứ 17.303 đều chia hết cho 13.
Sau đó, năm 2000, Ono làm bàng hoàng gới toán học bằng việc chứng minh rằng các tương đẳng phân hoạch tồn tại với mọi số nguyên tố. Kết quả này sau đó được tổng quát hóa bởi Ono và Scott Ahlgren, nay thuộc trường đại học Illinois ở Urbana-Champaign, với mọi bậc của số nguyên tố. Vì thế,không chỉ có các tương đẳng của 5, mà còn là của52,53 và cứ thế...
Mặc dầu Ramanujan đã chứng minh được rằng mỗi phần tử của một tập hợp xác định của các số phân hoạch chia hết cho 5, nhưng chứng minh của ông đã không đưa ra một cách để chia số thành 5 nhóm bằng nhau, hay thành các nhóm của các số, tất cả đều chia hết cho 5. Trong toán học, mỗi sự bẻ gẫy hiển nhiên được gọi là một cách chứng minh tổ hợp (combinatorial proof). Công việc của Ramanujan và sau đó là của Ono là cách chứng minh trừu tượng hơn về sự chia hết.
Nay, Mahlburg đã đưa ra một cách giải thích tổ hợp cho khả năng chia hết ngoài sức tưởng tượng của chúng. Công việc của anh đã hoàn thành một chuỗi các ý tuởng, những thứ bắt nguồn từ 6 thập kỷ trước bởi nhà vật lý Freeman Dyson thuộc viên nghiên cứu nâng cao ở Princeton, N.J
Công việc của Mahlburg" cuối cùng đã giải thích một cách bản chất về những tương đẳng này và tại sao chúng tồn tại ", Ono phát biểu.
Những mẫu hình ngạc nhiên
Về cơ bản, sự phân hoạch miêu ta việc làm sao để xếp một số dưới dạng tổng của các số hạng. Năm 1919, nhà toán học người Ấn độ Srinivasa Ramanujan khám phá ra rằng sự phân hoạch có một mối liên hệ không ngờ với phép nhân. Chúng tạo ra các dạng mẫu dựa trên các số nguyên tố - viên gạch cơ bản để sắp xếp một số thông qua phép nhân.
Ramanujan phát hiện thấy rằng bắt đầu từ số phân hoạch thứ tư trở đi, nghĩa là số 5, mỗi số phân hoạch thứ 5 sẽ chia hết cho 5. Ví dụ số 4 có số phân hoạch là 5, số 9 có số phân hoạch là 30, số 14 có số phân hoạch là 135.
Ramanujan còn khám phá ra được, bắt đầu từ số phân hoạch thứ 5, mội số phân hoạch thứ 7 sẽ chia hết cho 7 và bắt đầu với số phân hoạch thứ 6, mội số phân hoạch thứ 11 sẽ chia hết cho 11. Nhưng dạng mẫu này được gọi là Tương đẳng phân hoạch Ramanujan.
"Những dạng mẫu này thật là ngoài sức tưởng tượng ", Ono phát biểu. " Chúng không là gì, nhưng lại là định nghĩa của sự phân hoạch, cái đưa đến một lời giải thích đơn giản tại sao 3 tương đẳng của Ramanujan tồn tại ". Những tương đẳng này tạo ra một liên kết giữa 2 cách biểu diễn chữ số - bằng các tổng và bằng các tích.
5,7,11 là các số nguyên tố liên tiếp, và tiếp đến là số nguyên tố 13. Vì thế, người ta sẽ suy diễn ra ngay từ các dạng mẫu của Ramanujan, bắt đầu từ số phân hoạch thứ 7, mọi số phân hoạch thứ 13 đều chia hết cho 13. Nhưng không phải vậy, sau 3 tương đẳng Ramanjan, mẫu dạng đột nhiên bị đổ vỡ.
Trong nhiều thập kỷ, các nhà toán học cho rằng 3 mẫu dạng của Ramanujan chỉ là những mẫu dạng duy nhất. Năm 1968, A. Oliver L. Atkin thuộc trường đại học Illinois ở Chicago đã khám phá ra một vài dạng như vậy nhưng phức tạp hơn nhiều, ví dụ như bắt đầu với số phân hoạch thứ 237, mọi số phân hoạch thứ 17.303 đều chia hết cho 13.
Sau đó, năm 2000, Ono làm bàng hoàng gới toán học bằng việc chứng minh rằng các tương đẳng phân hoạch tồn tại với mọi số nguyên tố. Kết quả này sau đó được tổng quát hóa bởi Ono và Scott Ahlgren, nay thuộc trường đại học Illinois ở Urbana-Champaign, với mọi bậc của số nguyên tố. Vì thế,không chỉ có các tương đẳng của 5, mà còn là của
Mặc dầu Ramanujan đã chứng minh được rằng mỗi phần tử của một tập hợp xác định của các số phân hoạch chia hết cho 5, nhưng chứng minh của ông đã không đưa ra một cách để chia số thành 5 nhóm bằng nhau, hay thành các nhóm của các số, tất cả đều chia hết cho 5. Trong toán học, mỗi sự bẻ gẫy hiển nhiên được gọi là một cách chứng minh tổ hợp (combinatorial proof). Công việc của Ramanujan và sau đó là của Ono là cách chứng minh trừu tượng hơn về sự chia hết.
Nay, Mahlburg đã đưa ra một cách giải thích tổ hợp cho khả năng chia hết ngoài sức tưởng tượng của chúng. Công việc của anh đã hoàn thành một chuỗi các ý tuởng, những thứ bắt nguồn từ 6 thập kỷ trước bởi nhà vật lý Freeman Dyson thuộc viên nghiên cứu nâng cao ở Princeton, N.J
Công việc của Mahlburg" cuối cùng đã giải thích một cách bản chất về những tương đẳng này và tại sao chúng tồn tại ", Ono phát biểu.
Nguồn: Diễn đàn Toán học (http://diendantoanhoc.net)
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét