Tính nhanh tổng của một dãy số cho trước.

Khi cho một dãy số (có quy luật viết nhất định), yêu cầu học sinh phải tính nhanh tổng của dãy số này. nếu ta không hướng dẫn học sinh một phương pháp tính thì sẻ gặp nhiều khó khăn, trong mục này tôi xin đưa ra 2 ví dụ cụ thể, sau đó rút ra một cách tính tổng quát để khi gặp phải dạng toán này học sinh có thể giải một cách dễ dàng.

       Bài 1: Cho dãy số: 1,4,7,10,13,…52,55,57. Hãy tìm tổng của dãy số đó?

    Đây là  một bài toán có dạng đặc biệt. Cách tính nhanh nhất là phải sử dụng các tính chất của phép cộng (giao hoán, kết hợp) để tìm ra các tình nhanh nhất và từ đó rút ra cách giải một cách tổng quát nhất.                                       

Cách làm như sau:

     Ta nhận thấy, dãy số này bắt đầu từ số 1, kết thúc là số 57; số sau lớn hơn số trước nó 3 đơn vị; dãy có 10 số. Nếu tính cách thông thường thưc hiện từ trái sang phải thì rất lâu mà ta phải hướng dẫn học sinh  sử dụng tính chất giao hoán để tính. Ta có:

(1 + 58) + (4 + 55) + (7 + 52) +...+ (25 + 34) +(28 + 31) có 10 cặp. Mỗi cặp có tổng số là 59. Như vậy tổng của dãy số dễ dàng là: 5910 = 590.

      Bài 2.  Cho dãy số: 1 , 3, 5, 7, ….,77, 79 . Hãy tính tổng dãy số đó bằng cách nhanh nhất.

          Ta có thể làm như bài 1, nghĩa là lấy só đầu (1) cộng với số cuối (79)   số thứ 2 (3) cộng với  só thứ 2 cuối (77) và theo trình tự như vậy cho đến hết....sở dĩ như vậy là ta chọn 2 số sao cho có tổng tròn chục (80). Từ 1 đến 79 có 40 số và do cách làm trên nên ta sẻ có 20 cặp ( tổng mỗi cặp là 80) nên dễ dàng tìm được tổng của dãy số là: 80 * 20 = 1600.

   Từ cách giải trên nếu ta dừng lại đây thì chưa đủ, thực tế có nhiều bài toán   dẫy số có rất nhiều số, nên học sinh sể rất mất công để tìm ra có bao nhiêu số trong dãy số đó, để tìm ra bao nhiêu cặp . Lại nữa, muốn tìm xem  một số nào đó trong dãy số là số thứ mấy của dãy số? Rồi số thứ n nào đó của dãy là số mấy?...

     Ví dụ: Cho dãy số 2 ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ;....2002 ; 2004. Hãy:

                a, Tìm  tổng của dãy số?

                b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy?

                c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?

      Để giúp học sinh giải bài toán này và các bài toán tương tự ta hãy cùng gia sư toán tại nhà xây dựng một công thức tổng quát mà trong phạm vi học sinh tiểu học có thể chấp nhận và áp dụng được.

    Gọi dãy số cho trước là a₁,a₂,a₃,...a_n trong đó a₁,a₂,a₃ là các số thứ 1,2,3 của dãy số, a_n là số cuối cùng của dãy số. ta hãy tìm công thức tổng quát, từ ví dụ cụ thể sau:

       Ví dụ:  Cho dãy số 1,5,9,13,17,21,25,29. Hãy tìm tổng của dãy số đó?

     + Để tìm tổng của dãy số trước hết ta phải tìm xem dãy số gồm có bao nhiêu số.Ví dụ: Cho dãy số 1,5,9,13,17,21,25,29. Nhận xét:

     + Dãy số có 8 số tức bằng  (29 - 1)/(5 - 1) + 1= 8 trong đó 29 là số cuối của dãy; 1 là số đầu của dãy; 5 là số thứ 2 của dãy (tương đương với các số a_n,a₁,a₂ trong dãy số tổng quát ) và  (29 - 1)/(5 - 1) = 7 chỉ số từ 1(số đầu dãy) đến 29 (số cuối dãy) có 7 khoảng và như toán trồng cây ta phảicộng thêm 1để để tìm ra dãy số có bao nhiêu số và từ đây ta có công thức tìm dãy có bao nhiêu số.

    Bây giờ ta trở lại giải bài tập trên.

     Bài 1: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, 10,....2002, 2004. Hãy:

         a, Tìm  tổng của dãy số?

         b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy?

          c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?

       Ta có thể làm như sau:

   * Trước hết ta tìm xem đãy số đã cho có bao nhiêu số (tức là tìm n):

III MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC

Bµi 1: TÝnh nhanh:

a) 237 + 357 + 763       b) 2345 + 4257 - 345      c) 5238 - 476 + 3476    d) 1987 - 538 - 462                                   

e)  4276 + 2357 + 5724 + 7643                            g) 3145 + 2496 + 5347 + 7504 + 4653

h) 2376 + 3425 - 376 - 425                                   i)  3145 - 246 + 2347 - 145 + 4246  - 347

k) 4638 - 2437 + 5362 - 7563                               l) 3576 - 4037 - 5963 + 6424

Bµi 1: TÝnh nhanh:

a) 5+ 5 + 5 + 5+ 5 + 5 +5+ 5 + 5 +5	b) 25 + 25 + 25 + 25 + 25 + 25 +25 + 25
c) 45 + 45 + 45 + 45 + 15 + 15 + 15 + 15	d) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18
e) 125 + 125 + 125 + 125 - 25 - 25 - 25 - 25

Bµi 2: TÝnh nhanh:

a) 425 x 3475 + 425 x 6525	b) 234 x 1257 - 234 x 257
c) 3876 x 375 + 375 x 6124	d) 1327 x 524 - 524 x 327
e) 257 x 432 + 257 x 354 + 257 x 214	g) 325 x 1574 - 325 x 325 - 325 x 24
h) 312 x 425 + 312 x 574 + 312	i) 175 x 1274 - 175 x 273 - 175

Bµi 3: TÝnh nhanh:

a) 4 x 125 x 25 x 8	b) 2 x 8 x 50 x 25 x 125
c) 2 x 3 x 4 x 5 x 50 x 25	d) 25 x 20 x 125 x 8 - 8 x 20 x 5 x 125

    

Bµi 4*: TÝnh nhanh:

a) 8 x 427 x 3 + 6 x 573 x 4	b) 6 x 1235 x 20 - 5 x 235 x 24
c) (145 x 99 + 145) - (143 x 102 - 143)	d) 54 x 47 - 47 x 53 - 20 - 27

 

 Bµi 5*:  TÝnh nhanh:

a) 10000 - 47 x 72 - 47 x 28

b) 3457 - 27 x 48 - 48 x 73 + 6543

Bµi 6*: TÝnh nhanh:

a) 326 x 728 + 327 x 272	b) 2008 x 867 + 2009 x 133
c) 1235 x 6789x (630 - 315 x 2)	d) (m : 1 - m x 1) : (m x 2008 + m + 2008)

Bµi 7*: TÝnh nhanh:

a)    (399*45 + 399*55)/(1995*1996 - 1995*1991)	b) (1995*1993 - 18)/(197%*1993*1994)
c)       (1996*1995 - 996)/(1000 + 1994*1996)	d)

                                          

 Bµi 8*: Cho A = 2009 x 425      B = 575 x 2009. Không tính A, B hãy tính kết quả B - A?