Bài toán Frobenius

Định lý Tem thư. Cho a, b là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Khi đó

            1) Với mọi n > ab – a – b = n₀, n có thể biểu diễn được dưới dạng

                        n = ax + by với x, y là các số nguyên không âm.

            2) Với mọi k, 0 £ k £ n₀, có đúng một trong hai số k, n₀-k biểu diễn được dưới dạng  ax + by với x, y nguyên không âm.

Kết quả này là của Sylvester. Đây là trường hợp đặc biệt của bài toán Frobenius:

Cho trước n số nguyên dương a₁, a₂, …, a_n với (a₁, a₂, …, a_n) = 1. Tìm số G_n lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng  a₁x₁ + … + a_nx_n với x_i Î N.

Số nguyên G_n như vậy luôn tồn tại do điều kiện (a₁, a₂, …, a_n) = 1 và được suy ra từ định lý Schur (định lý khẳng định số nghiệm nguyên không âm của phương trình x = a₁x₁ + … + a_nx_n bằng

Cho đến gần đây, ngay cả trường hợp n=3 vẫn chưa giải được. Có một số người khẳng định rằng họ đã giải được trường hợp n=3. Tuy nhiên, khi xem lời giải của họ thì họ không tìm được công thức cho G₃. Đúng hơn là họ đã đưa ra một thuật toán “đơn giản” để tìm G₃. Thuật toán này được mô tả trên vài trang giấy. Nếu theo nghĩa này thì trường hợp tổng quát cũng có lời giải. Còn công thức cho G_n có lẽ là không tồn tại, ngay cả trong trường hợp n = 3.

Davidson chứng minh được đánh giá chặn dưới cho G₃(a₁, a₂, a₃) như sau:

            G₃(a₁, a₂, a₃) >= căn(a1*a2*a3) - a1 - a2 - a3

Bạn đọc quan tâm đến bài toán Frobenius (còn gọi là Frobenius coin problem) có thể xem thêm tại địa chỉ

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Coin_problem

Bài tập

1. Cho (a, b) = 1. Ngân hàng trung ương Sikinia phát hành chỉ 2 loại tiền a- và b-Kulotnik. Bạn có thể trả được những khoản tiền nào nếu

(a) bạn có thể nhận tiền trả lại       (b) bạn không nhận tiền trả lại

2. Ở Sikinia có ba loại quả cân: 15, 20 và 48 Slotnik. Hỏi có thể cân được những trọng lượng nào nếu dùng cân

            (a) 2 đĩa                                             (b) một đĩa

3. (IMO 1983) Cho a, b, c là các số nguyên dương với (a, b) = (b, c) = (c, a) = 1. Chứng minh rằng 2abc – ab – bc – ca là số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạng xbc + yca + zab với x, y, z là các số nguyên không âm.

4. Với tập hợp A, ký hiệu |A| và s(A) tương ứng là số phần tử và tổng các phần tử của tập hợp A (nếu A = Æ thì |A| = s(A) = 0). Cho S là tập hợp gồm các số nguyên dương sao cho

            a) tồn tại hai phần tử x, y thuộc S với (x, y) = 1.

            b) nếu x, y thuộc S thì x + y thuộc S.

Gọi T là tập hợp tất cả các số không nằm trong S. Chứng minh rằng

Điều Thú Vị Từ Một Bài Toán Tính Tổng

Bài Toán *: Tính tổng: 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100.

Lời giải:

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

= (1 + 100) + (2 + 99) + … + (49 + 52) + (50 + 51)

= 101 + 101 + … + 101 {50 số hạng}

= 101 * 50 = 5050.

Lời giải trên cũng là lời giải của nhà toán học Đức Gau – Xơ.

Ghép 1 + 2 = 3; 3 + 4 = 7;  5 + 6 = 11; … ; 99 + 100 = 199.

Cho ta bài toán 1:

Bài 1: Cho biết 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = 5050. Hãy tính nhanh tổng sau: 3 + 7 + 11 + … + 199.

Qua hai bài toán trên chúng ta cũng đề xuất được nhiều bài toán tương tự bài toán 1.

Sau đây, ta cũng có bài toán “ngược”.

Bài 2. Tìm x là số tự nhiên, biết rằng: 1 + 2 + 3 +… + x =5050.

Trong phép cộng có tính chất giao hoán nên giúp chúng ta có bài toán hay sau:

Bài 3. Viết các số tự nhiên 1; 2; 3; 4; …; 100 theo một thứ tự tùy ý. Sau đó, cứ mỗi số cộng với số thứ tự của nó để được một tổng. Tính tổng của tất cả các tổng vừa nhận được.

Các số hạng của tổng ở bài toán *, nếu chia thành 2 nhóm một cách tùy ý, gọi a là tổng các số trong nhóm thứ nhất và b là tổng các số trong nhóm thứ 2; ta có a + b =5050. Giúp ta có các bài toán sau:

Bài 4. Cho 100 số tự nhiên 1; 2; 3; …; 100. Chia các số này thành hai nhóm một cách tùy ý. Tìm tổng các số trong mỗi nhóm, biết:

a)     Tổng các số trong nhóm thứ nhất hơn tổng các số trong nhóm thứ hai là 684.

b)    Tổng các số trong nhóm thứ nhất bằng 9 lần tổng các số trong nhóm thứ hai.

Bài 5: Cho 100 số tự nhiên 1; 2; 3; … ; 100. Có tìm được cách chia các số trên thành 2 nhóm mà tổng các số trong nhóm thứ nhất nhỏ hơn tổng các số trong nhóm thứ hai là 2003 không?

Và chắc rằng các bài toán hay và khó sau, các bạn học sinh giỏi lớp 6 sẽ chinh phục được:

Bài 6: Bạn Thăng viết lên bảng dòng sau: 100*99*98*…*3*2*1. Bạn Long thay dấu * bởi dấu + hoặc – và tính được kết quả là 2002. Bạn Tiến thay dấu * bởi dấu + hoặc – và tính được kết quả là 2003. Có thể kết luận rằng Long và Tiến có một bạn làm không sai? Giải thích điều đó.

Bài 7: Trên bảng viết các số 1; 2; …; 99; 100. Cho phép xóa hai số bất kì trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng hiệu hai số đó. Cứ như thế đến khi còn lại một số trên bảng. Số còn lại là số chẵn hay lẻ. Giải thích điều đó.

Sáng Tạo Từ Một Bài Toán Khó

Bài Toán: Cho n nguyên, dương. Chứng tỏ rằng: UCLN (n; n + 1) = 1.
Đây là một bài toán khó lớp 6.
Để làm được bài này gia sư lưu ý các em chú ý sau: Gọi d là UCLN (n; n + 1) với d nguyên dương. Từ đó, các em sẽ có được n và n + 1 chia hết cho d và hơn nữa còn có (n +  1) - n = 1 sẽ giúp ta có được lời giải bài toán.
Sau đây gia sư toán tại trung tâm dạy kèm tại nhà sẽ đưa ra lời giải:
Đặt d = UCLN (n; n + 1) với d nguyên dương.
Ta có: n chia hết cho d và (n +  1) chia hết cho d.
Do đó, (n + 1) - n chia hết cho d.
Vậy 1 chia hết cho d nên d = 1
Ta có: UCLN (n; n + 1) = 1

Từ bài toán trên gia sư tại nhà môn toán xin đưa ra một số cách phát biểu dưới dạng khác của bài toán, mà độ khó đã được nâng lên để các em luyện tập:
Bài 1: Tìm UCLN của hai số tự nhiên liên tiếp.
Chúng ta còn có (2n + 3) - (2n + 1) = 2.
Mà (2n + 3) ; (2n + 1) đều là số lẻ, do vậy nên UCLN((2n + 3) ; (2n + 1)) = d thì d = 1 giúp ta có bài tóan Hay và Khó sau:
Bài 2: Tìm UCLN của hai số lẻ liên tiếp.
Nếu tìm được các số tự nhiên a, b, c, d, e, f sao cho a(bn + c) - d(en + f) thì chúng ta có được bài tóa mới Hay và Khó. Chẳng hạn:
Bài 3: Cho n thuộc N. Tìm UCLN(30n + 17 ; 12n + 7).
Bài 4: Cho a thuộc N. Tìm UCLN(25a + 17 ; 10a + 7).
Bài 5: Cho x thuộc N. Tìm UCLN(16x + 7 ; 24x + 7).
...
Các bạn cũng đã có lời giải cho bài toán sau:
Bài 6: Cho n nguyên, dương. Tìm UCLN(21n + 4 ; 14n + 3).

Tổng hợp các công thức vật lý THPT

Gia su tai nha xin giới thiệu các công thức vật lý giúp tra cứu và sử dụng nhanh chóng trong quá trình giải toán vật lý chương trình vật lý phổ thông

Tại sao có phương trình 1+1=2

Đối với nhiều người, câu hỏi tưởng như vô cùng đơn giản: “Tại sao 1 + 1 = 2?” lại là một trong những câu hỏi khó trả lời nhất. Tại sao? Vì nó gần như là hiển nhiên. Bạn có 1 trái táo, sau đó có người cho bạn 1 trái nữa, thì bạn có 2 trái, tự nhiên nó đã như thế.

Tuy nhiên, nếu xét theo quan điểm của Toán học hiện đại, việc chứng minh “1 + 1 = 2” là thừa, vì nó không có bất kỳ một ý nghĩa nào nữa, thậm chí, người ta còn có thể chứng minh được rằng “1 + 1” không bằng 2.

Xin trình bày với các bạn một cách thức xây dựng mà ở đây “1 + 1” sẽ không bằng 2 nữa, mà bằng một cái gì đó tùy ý theo đúng quan điểm của Toán.

Trước hết, ta cần có một số khái niệm cơ bản sau:

1. Tập hợp

Đây là khái niệm cơ bản của Toán học, nên ta không có câu trả lời cho “Tập hợp là gì?”, mà khi nói tới Tập hợp, ta nói đến các đối tượng trong đó mà ta gọi là phần tử. Do đó, ta có cách để gọi Tập hợp theo tính chất của các phần tử trong đó.

Ví dụ: “Tập hợp số Tự nhiên” cho ta tập hợp có phần tử là các số 0, 1, 2, 3,…

“Tập hợp các phương tiên giao thông trên đường” cho ta tập hợp có các phần tử là xe ôtô, xe gắn máy, xe đạp…

Người ta thường ký hiệu tập hợp bằng các chữ in hoa, như tập hợp A, tập hợp B, tập hợp số tự nhiên N,…

Ở trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một phép toán trên tập hợp là tích Descarte. Cho hai tập hợp A và B, tích Descarte của A và B ký hiệu là AxB, là một tập hợp gồm các phần tử có dạng (x; y) trong đó, x là phần tử của A, y là phần tử của B (theo đúng thứ tự trước và sau như thế).

2. Ánh xạ

Cho hai tập hợp X và Y, một phép tương ứng “mỗi phần tử x của X với duy nhất một phần tử y của Y” được gọi là một ánh xạ.

Khi đó, chúng ta cần lưu ý trong định nghĩa này, nếu x thuộc X thì phải có, và chỉ có 1 phần tử y thuộc Y tương ứng với x mà thôi, nếu có x mà không có y hoặc có 2 phần tử thuộc Y tương ứng thì đó không gọi là ánh xạ.

Người ta ký hiệu ánh xạ là f từ X và Y, ảnh của phần tử x thuộc X ta ký hiệu là f(x).

3. Xây dựng mô hình bài toán

Sau khi có đủ hai khái niệm trên ta xây dựng mô hình cho bài toán 1 + 1 không bằng 2 nhé:

Cho tập hợp số tự nhiên N và tập hợp tên các loại trái cây, ký hiệu là T. Khi đó, tích Descarte của tập N và N là NxN gồm các phần tử có dạng (a; b) (ta gọi là cặp số (a; b)), trong đó a, b là các số tự nhiên.

Xét ánh xạ f từ tập NxN vào tập T, khi đó, tương ứng với mỗi cặp số (a; b) là một tên của một loại trái cây nào đó, là f(a; b). Ta ký hiệu f(a; b) = a + b (lưu ý, a + b ở đây chỉ là một ký hiệu mà thôi).

Khi đó, xét cặp số (1; 1), nó sẽ tương ứng với một tên trái cây nào đó trong tập T (chắc chắc là phải có theo định nghĩa ánh xạ), giả sử đó là “Trái cam”. Khi đó ta được

f(1; 1) = “Trái cam”, hay nói cách khác, ta có “1 + 1 = Trái cam” (vì f(1; 1) = 1 + 1).

4. Kết luận

Từ mô hình trên, ta đã có được kết quả, 1 + 1 không phải là 2 nữa, mà nó có thể là bất cứ thức gì mà ta muốn. Ngoài ra, từ mô hình này ta cũng có được câu trả lời cho “Tại sao 1 + 1 = 2”. Đó là: đây chỉ là quy ước của những phép Toán do con người đã đặt ra mà thôi, nên con người hoàn toàn có thể thay đổi nó (ví dụ, thay vì ký hiệu dấu “+” thì người ta ký hiệu dấu “-”, khi đó ta sẽ có “1 – 1 = 2” thì về bản chất cũng không có gì thay đổi, chỉ có ký hiệu là thay đổi mà thôi).

Theo Thay-do.net

Đáp Án Bài Tập Giải Thích và So Sánh TCHH của các HCHC

Hôm nay, gia sư môn hóa của trung tâm gia sư tại nhà gửi đến các em đáp án phần Bài Tập GIẢI THÍCH VÀ SO SÁNH TÍNH CHẤT HÓA HỌC CỦA CÁC CHẤT HỮU CƠ. Chúc các em học tốt.

1D	2A	3C	4B	5C	6A	7B	8B	9D
10D	11B	12A	13D	14B	15C	16C	17B

Kinh nghiệm làm bài thi Vật lý của thủ khoa

Thủ khoa các trường đại học lớn chia sẻ kinh nghiệm làm bài thi môn Vật lý, đặc biệt nhấn mạnh đọc kỹ câu hỏi của đề bài để biết được mục tiêu cần giải quyết.

Trước hết, các em phải học theo lối tư duy bài tập và phải nhớ một điều “cách giải chỉ nằm trong đề bài”. Để tư duy được một bài tập chúng ta nên đi theo một trình tự như sau:

+ Nhấn mạnh vào câu hỏi của đề bài nhằm biết được mục tiêu cần giải quyết ở đây là gì.

+ Biết được mục tiêu rồi thì cần liên hệ đến các dữ kiện đề bài cho. Mỗi dữ kiện ta phải suy ra, tính toán được một hệ quả cần thiết liên quan đến yếu tố của câu hỏi. Điều này đặc biệt quan trọng, nếu không xử lý được hết dữ kiện của bài tập thì chúng ta sẽ không làm được bài tập đó và hãy nhớ là “không được bỏ sót một dữ kiện nào”.

Ví dụ:

Đề thi đại học 2011: Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang gồm lò xo nhẹ có một đầu cố định, đầu kia gắn với vật nhỏ m1. Ban đầu giữ vật m1 tại vị trí mà lò xo bị nén 8 cm, đặt vật nhỏ m2 (có khối lượng bằng khối lượng vật m1) trên mặt phẳng nằm ngang và sát với vật m1. Buông nhẹ để hai vật bắt đầu chuyển động theo phương của trục lò xo. Bỏ qua mọi ma sát. Ở thời điểm lò xo có chiều dài cực đại lần đầu tiên thì khoảng cách giữa hai vật m1 và m2 là:

Từ mục tiêu tính khoảng cách giữa 2 vật m1 và m2, chứng tỏ quá trình chuyển động của 2 vật này sẽ khác nhau => phân tích quá trình chuyển động của 2 vật: Ta thấy ban đầu 2 vật ghép sát và chuyển động nhanh dần và không có yếu tố nào tách 2 vật ra cả => 2 vật chuyển động cùng vận tốc cho tới vị trí cân bằng. Khi tới vị trí cân bằng, tại đây là một vị trí đặc biệt. Khi bắt đầu qua vị trí này vật m1 gắn với lò xo sẽ chuyển động chậm dần còn vật m2 chuyển động thẳng đều vì bỏ qua ma sát. 2 vật chuyển động cùng vận tốc cho tới vị tới vị trí cân bằng nên vận tốc chuyển động thẳng đều của m2 chính bằng vận tốc cực đại của 2 vật ở tại vị trí cân bằng.

Có thể các em sẽ cho rằng cách giải trên dài trong khoảng thời gian đi thi. Nhưng đây là một trong những bước đi đầu tiên của việc phân tích bài toán. Còn khi đã quen với cách tư duy + làm nhiều + phân tích dữ kiện nhanh thì chúng ta chỉ gói gọn bài toán trong 1, 2 công thức bởi đơn giản các dữ kiện đã được chúng ta xử lý ngay trong đầu theo thói quen của bộ não.

Chính vì vậy mà đôi khi đọc bài làm của một học sinh khác hoặc của một quyển sách nào đó thì thường có câu hỏi là tại sao họ lại làm được như thế này? Hay làm sao mà nghĩ được như vậy. Các bạn học giỏi chỉ cần ngồi nhẩm nhẩm là ra kết quả. Câu trả lời đơn giản rằng họ đã làm quá nhiều bài tập, các dữ kiện trong bài tập đó đơn giản họ đã từng xử lý ở một bài tập khác liên quan cho nên khi đọc bài tự bộ não sẽ tìm đến kết quả của dữ kiện luôn chứ không cần phải làm dài dòng như trên.

Do đó, phương pháp nêu trên cũng chỉ chiếm một phần định hướng cho các bạn mà thôi. Muốn đạt được kết quả cao thì rất cần phương pháp nhưng thời gian rèn luyện lại càng quan trọng hơn, có phương pháp mà không rèn luyện thì cũng không có tác dụng. Cái tiên quyết vẫn là chăm chỉ đặt lên hàng đầu.

Khi đã rèn luyện một thời gian lâu thì bài toán trên bạn sẽ chỉ đơn giản là giả quyết như sau: