Điều Thú Vị Từ Một Bài Toán Tính Tổng

Bài Toán *: Tính tổng: 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100.

Lời giải:

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

= (1 + 100) + (2 + 99) + … + (49 + 52) + (50 + 51)

= 101 + 101 + … + 101 {50 số hạng}

= 101 * 50 = 5050.

Lời giải trên cũng là lời giải của nhà toán học Đức Gau – Xơ.

Ghép 1 + 2 = 3; 3 + 4 = 7;  5 + 6 = 11; … ; 99 + 100 = 199.

Cho ta bài toán 1:

Bài 1: Cho biết 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 = 5050. Hãy tính nhanh tổng sau: 3 + 7 + 11 + … + 199.

Qua hai bài toán trên chúng ta cũng đề xuất được nhiều bài toán tương tự bài toán 1.

Sau đây, ta cũng có bài toán “ngược”.

Bài 2. Tìm x là số tự nhiên, biết rằng: 1 + 2 + 3 +… + x =5050.

Trong phép cộng có tính chất giao hoán nên giúp chúng ta có bài toán hay sau:

Bài 3. Viết các số tự nhiên 1; 2; 3; 4; …; 100 theo một thứ tự tùy ý. Sau đó, cứ mỗi số cộng với số thứ tự của nó để được một tổng. Tính tổng của tất cả các tổng vừa nhận được.

Các số hạng của tổng ở bài toán *, nếu chia thành 2 nhóm một cách tùy ý, gọi a là tổng các số trong nhóm thứ nhất và b là tổng các số trong nhóm thứ 2; ta có a + b =5050. Giúp ta có các bài toán sau:

Bài 4. Cho 100 số tự nhiên 1; 2; 3; …; 100. Chia các số này thành hai nhóm một cách tùy ý. Tìm tổng các số trong mỗi nhóm, biết:

a)     Tổng các số trong nhóm thứ nhất hơn tổng các số trong nhóm thứ hai là 684.

b)    Tổng các số trong nhóm thứ nhất bằng 9 lần tổng các số trong nhóm thứ hai.

Bài 5: Cho 100 số tự nhiên 1; 2; 3; … ; 100. Có tìm được cách chia các số trên thành 2 nhóm mà tổng các số trong nhóm thứ nhất nhỏ hơn tổng các số trong nhóm thứ hai là 2003 không?

Và chắc rằng các bài toán hay và khó sau, các bạn học sinh giỏi lớp 6 sẽ chinh phục được:

Bài 6: Bạn Thăng viết lên bảng dòng sau: 100*99*98*…*3*2*1. Bạn Long thay dấu * bởi dấu + hoặc – và tính được kết quả là 2002. Bạn Tiến thay dấu * bởi dấu + hoặc – và tính được kết quả là 2003. Có thể kết luận rằng Long và Tiến có một bạn làm không sai? Giải thích điều đó.

Bài 7: Trên bảng viết các số 1; 2; …; 99; 100. Cho phép xóa hai số bất kì trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng hiệu hai số đó. Cứ như thế đến khi còn lại một số trên bảng. Số còn lại là số chẵn hay lẻ. Giải thích điều đó.