Sáng Tạo Từ Một Bài Toán Khó

Bài Toán: Cho n nguyên, dương. Chứng tỏ rằng: UCLN (n; n + 1) = 1.
Đây là một bài toán khó lớp 6.
Để làm được bài này gia sư lưu ý các em chú ý sau: Gọi d là UCLN (n; n + 1) với d nguyên dương. Từ đó, các em sẽ có được n và n + 1 chia hết cho d và hơn nữa còn có (n +  1) - n = 1 sẽ giúp ta có được lời giải bài toán.
Sau đây gia sư toán tại trung tâm dạy kèm tại nhà sẽ đưa ra lời giải:
Đặt d = UCLN (n; n + 1) với d nguyên dương.
Ta có: n chia hết cho d và (n +  1) chia hết cho d.
Do đó, (n + 1) - n chia hết cho d.
Vậy 1 chia hết cho d nên d = 1
Ta có: UCLN (n; n + 1) = 1

Từ bài toán trên gia sư tại nhà môn toán xin đưa ra một số cách phát biểu dưới dạng khác của bài toán, mà độ khó đã được nâng lên để các em luyện tập:
Bài 1: Tìm UCLN của hai số tự nhiên liên tiếp.
Chúng ta còn có (2n + 3) - (2n + 1) = 2.
Mà (2n + 3) ; (2n + 1) đều là số lẻ, do vậy nên UCLN((2n + 3) ; (2n + 1)) = d thì d = 1 giúp ta có bài tóan Hay và Khó sau:
Bài 2: Tìm UCLN của hai số lẻ liên tiếp.
Nếu tìm được các số tự nhiên a, b, c, d, e, f sao cho a(bn + c) - d(en + f) thì chúng ta có được bài tóa mới Hay và Khó. Chẳng hạn:
Bài 3: Cho n thuộc N. Tìm UCLN(30n + 17 ; 12n + 7).
Bài 4: Cho a thuộc N. Tìm UCLN(25a + 17 ; 10a + 7).
Bài 5: Cho x thuộc N. Tìm UCLN(16x + 7 ; 24x + 7).
...
Các bạn cũng đã có lời giải cho bài toán sau:
Bài 6: Cho n nguyên, dương. Tìm UCLN(21n + 4 ; 14n + 3).