Định Lý Py - Ta - Go và Những Điều Thú Vị

Khi hỏi một bạn học sinh lớp 8 năm học 2003-2004 : “Nếu một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 1 thì cạnh huyền bằng bao nhiêu ?”, chắc bạn đó sẽ lúng túng. Điều đó cũng dễ hiểu vì trong chương trình môn toán thì năm học 2003-2004 trở về trước, học sinh lớp 8 chưa học căn bậc hai. 
Nhưng nếu đặt câu hỏi đó cho một học sinh lớp 7 vào cuối học kì I của năm học 2003-2004 thì bạn đó sẽ trả lời :  
- Quá dễ ! 1² + 1² = 2, đáp số là căn 2 chứ gì ! 
Định lí Py-ta-go và căn bậc hai trong sách giáo khoa Toán 7 mới giúp ta có thêm nhiều khả năng tiếp cận những bài toán thú vị.  
1. Bài toán tính độ dài đoạn thẳng 
Ví dụ 1 : Tính các độ dài x, y trên hình 1.

Lời giải : áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông AHC, AHB ta có : 
x2 = 16² + AH² ; y² = 9² + AH². Do đó : x² - y² = (16²+ AH²) - (9² + AH²) = 175 (1) 
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BAC : x² + y² = (9 + 16)² = 625 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra x² = 400 ; y² = 225. 
Do đó : x = 20 ; y = 15. 
Ví dụ 2 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 3 và 8, góc xen giữa bằng 60^o. Tính độ dài cạnh còn lại. 
Lời giải : (hình 2) Xét tam giác ABC có AB = 8 ; AC = 3. Kẻ đường cao AH. 
Tam giác vuông AHB có ĐA = 60^o nên AH = AB : 2 = 8 : 2 = 4. 
Do AC = 3 nên C nằm giữa A và H và CH = AH - AC = 4 - 3 = 1.   

Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông CHB, AHB ta có : BC² = BH² + CH² = (AB² - AH² ) + CH² = 8² - 4² + 1² = 49. 
Vậy BC = 7. 
Ví dụ 3 : Tính chu vi của đường gấp khúc ABCDEA trên hình 3.   

Hướng dẫn : Hãy kéo dài AB và ED cho cắt nhau tại I.Ááp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AIE, ta tính được AE = 5, do đó chu vi đường gấp khúc ABCDEA bằng 12. 
2. Bài toán tính diện tích tam giác 
Ví dụ 4 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1dm. Số nào trong các số sau cho giá trị sát nhất với diện tích tam giác ABC : 0,4 dm² ; 0,5 dm² ; 0,6 dm² ? 
Lời giải : (hình 4) Kẻ đường cao AH. Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông AHC ta có : AH² = AC² - HC² = 1² - 0,5² = 0,75.

Giá trị sát nhất với diện tích tam giác ABC là 0,4 dm²  

Hướng dẫn : Chú ý rằng 10 = 3² + 1² ; 20 = 2² + 4² ; 50 = (3 + 2)² + (1 + 4)². 
Lời giải : Vẽ thêm các điểm D, H, E như trên hình 5. Ta tính được S_ADB = 1,5 ; S_BHC = 4 ; S_BDEH = 2 ; S_AEC = 12,5. Do đó : S_ABC = 12,5 - 1,5 - 4 - 2 = 5.  
Mời các bạn tự giải các bài tập sau : 
Bài 1 : Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng 2. Cạnh huyền của tam giác có giá trị sát nhất với số nào trong các số sau : 2,6 ; 2,7 ; 2,8 ; 3.  
Bài 2 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 7 và 5, góc xen giữa bằng 60^o. Tính độ dài cạnh thứ ba. 
Bài 3 : Một tam giác có độ dài hai cạnh bằng 5 và 6, góc xen giữa bằng 120^o. Tính độ dài cạnh thứ ba.  
Bài 4 (bài toán của Xem Lôi-đơ) : ở một hội chợ, người ta quảng cáo bán một cái hồ hình tam giác và ba miếng đất hình vuông dựng trên ba cạnh đó (hình 6). Diện tích ba miếng đất đó bằng 74 acrơ ; 116 acrơ ; 370 acrơ (1acrơ = 4047m²).  

Bảng quảng cáo không nói rõ diện tích của cái hồ làm nhiều người thắc mắc không rõ diện tích đó lớn hay nhỏ. Bạn hãy tìm diện tích của hồ. 
Hướng dẫn : 74 = 7² + 5² ; 116 = 10² + 4².